[論文レビュー] Entanglement-assisted quantum MDS codes from constacyclic codes with large minimum distance

Liangdong Lü, Wenping Ma+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、定義集合の分解手法を提案し、4つの新しいクラスの$q$-元エンタングルメント支援量子MDS（EAQMDS）コードを構築する。$\mathbb{F}_{q^2}$ 上の古典的定型循環MDSコードを活用し、最大で1〜4つの事前共有最大エンタングルメント状態（ebits）を用いることで、既知の量子MDSコードを上回るより大きな最小距離を持つEAQMDSコードを達成した。特に、$3q-1$ を超える最小距離を有するコードも得られ、多数のコードはパrameter空間において新規である。

ABSTRACT

The entanglement-assisted (EA) formalism allows arbitrary classical linear codes to transform into entanglement-assisted quantum error correcting codes (EAQECCs) by using pre-shared entanglement between the sender and the receiver. In this work, we propose a decomposition of the defining set of constacyclic codes. Using this method, we construct four classes of $q$-ary entanglement-assisted quantum MDS (EAQMDS) codes based on classical constacyclic MDS codes by exploiting less pre-shared maximally entangled states. We show that a class of $q$-ary EAQMDS have minimum distance upper limit greater than $3q-1$. Some of them have much larger minimum distance than the known quantum MDS (QMDS) codes of the same length. Most of these $q$-ary EAQMDS codes are new in the sense that their parameters are not covered by the codes available in the literature.

研究の動機と目的

• より良いパラメータを有するエンタングルメント支援量子MDS（EAQMDS）コードの新規族の構築を目的とする。
• EAQECC構築における必要な事前共有最大エンタングルメント状態（ebits）の数を削減することを目的とする。
• $n \leq q^2+1$ の場合に、既知の量子MDSコードの$q+1$ の限界を超えて最小距離を拡張することを目的とする。
• 定型循環コードの定義集合の分解フレームワークを提供し、EAQMDSコードの体系的構築を可能とすることを目的とする。
• 構築されたEAQMDSコードが新規である、すなわち既存の文献でカバーされていないパラメータを有することを示すこと

提案手法

• 定型循環コードから拡張された、$\mathbb{F}_{q^2}$ 上の定型循環コードの定義集合の分解を提案し、従来の巡回コードに関する研究を定型循環コードへと拡張する。
• EA量子Singleton不等式を用いて、構築されたコードがMDSであることを保証する。このためには$n + c - k \geq 2(d-1)$ を満たす必要がある。
• EA安定化子形式を適用する：古典的符号$\mathcal{C}$ がパリティ検査行列$H$ を持つとき、EAQECCはパラメータ$[[n, 2k-n+c, d; c]]_q$ を持ち、$c = \text{rank}(HH^\dagger)$ である。
• 定義集合内の巡回コセットとねじれ対称ペアの分析を通じて、必要なebits数$c$ を特定する。
• 長さ$n = q^2+1$、$n = (q^2+1)/10$、および$h \in \{3,5,7\}$ に対して$n = (q^2-1)/h$ である定型循環コードを用いて、4つのクラスのEAQMDSコードを構築する。
• 定義集合の構造と巡回コセット内の要素数の分析を通じて、最小距離$d$ の上限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定型循環コードの定義集合の分解は、より大きな最小距離を有する新規EAQMDSコードの構築を可能にするか？
• RQ2 1または4つの事前共有ebitsのみを用いて、最小距離が$3q-1$ を超えるEAQMDSコードを構築できるか？
• RQ3 構築されたEAQMDSコードは、同じ長さと体サイズに対して、既知の標準QMDSコードの最小距離を上回るか？
• RQ4 提案されたEAQMDSコードは、そのパラメータが既存の文献でカバーされていない意味で新規であるか？
• RQ5 長さ$n = q^2+1$ の$q$-元EAQMDSコードで達成可能な最小距離の最大値は何か？

主な発見

• パラメータ$[[q^2+1, q^2-2d+7, d; 4]]_q$ の新しい$q$-元EAQMDSコードは、$q+3 \leq d \leq 3q-1$ の範囲で偶数$d$ に対して、$3q-1$ を超える最小距離の上限を達成する。
• $q \equiv 3 \pmod{10}$ の場合、コード$[[\frac{q^2+1}{10}, \frac{q^2+1}{10}-2d+3, d; 1]]_q$ は、1つのebitのみで$q = 10m+3$ のもとで最小距離が$6m+2$ まで達成可能である。
• $q \equiv 7 \pmod{10}$ の場合、コード$[[\frac{q^2+1}{10}, \frac{q^2+1}{10}-2d+3, d; 1]]_q$ は、1つのebitのみで$q = 10m+7$ のもとで最小距離が$6m+4$ まで達成可能である。
• $h \in \{3,5,7\}$ で$h \mid (q+1)$ を満たす場合、コード$[[\frac{q^2-1}{h}, \frac{q^2-1}{h}-2d+3, d; 1]]_q$ は、$\frac{q+1}{h}+1 \leq d \leq \frac{(h+3)(q+1)}{2h}-1$ の範囲で最小距離$d$ を有し、既知の標準QMDSコードを距離面で上回る。
• 構築されたすべてのEAQMDSコードは新規である。特に長さ、距離、エンタングルメントコストの観点から、既存の文献でカバーされていないパラメータを有する。