[論文レビュー] Entanglement cost and distillable entanglement of symmetric states

Keiji Matsumoto|ArXiv.org|Aug 23, 2007

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、対称部分空間に支持される量子状態の量子もつれコストおよび効率的もつれ抽出量の明示的公式を導出する。特定の条件下—特に、入力状態のスチェミット基底が位相を除いて既知である場合—では、最適な $n$ から $m$ への複製において、もつれ測定値（コストおよび効率的もつれ抽出量）が $m$ 個の入力状態の真正コピーと同一であることを示している。驚くべきことに、もつれ量の面では等価であるにもかかわらず、もつれ希釈および抽出における誤差指数は両者で異なる。これは、もつれ量を超えた運用的忠実度における重要な差を示している。

ABSTRACT

We compute entanglement cost and distillable entanglement of states supported on symmetric subspace. Not only giving general formula, we apply them to the output states of optimal cloning machines. Surprisingly, under some settings, the optimal n to m clone and true m copies are the same in entanglement measures. However, they differ in the error exponent of entanglement dilution. We also presented a general theory of entanglement dilution which is applicable to any non-i.i.d sequence of states.

研究の動機と目的

• 非i.i.d.量子状態、特に対称部分空間に支持される状態のもつれコストおよび効率的もつれ抽出量を計算すること。
• 普遍的もつれ濃縮を、既知の純粋状態に限らない任意の対称状態へと拡張し、入力状態の事前知識がなくてももつれ抽出が可能となるようにすること。
• 最適な $n$ から $m$ への複製機の出力状態のもつれ特性を、入力状態の知識に関する異なる仮定の下で分析すること。
• 最適な複製と $m$ 個の入力状態の真正コピーのもつれ特性を、もつれ測定値および誤差指数の両面から比較すること。

提案手法

• 情報スペクトル法および平滑化 R\'enyi エントロピーを用いて、非i.i.d.状態のもつれコストおよび効率的もつれ抽出量の一般公式を導出する。
• 対称部分空間に支持される状態のもつれコストおよび効率的もつれ抽出量について、最適化を必要としない公式を導出する。対称性を活用することで最適化の複雑さを排除する。
• $n$ から $m$ への複製機の出力状態に理論を適用する。$m = rn$ とし、定数 $r$ を仮定する。2つの状況を検討する：スチェミット基底が位相を除いて既知であること、および完全に未知の純粋状態であること。
• スチェミット係数の確率的上極限および下極限を用いて、漸近的状態におけるもつれコストを定義する。純粋状態集合におけるスチェミット係数の分布を用いる。
• 大偏差境界およびエントロピー関数（シャノンエントロピー $H$、二項エントロピー $h$、相対エントロピー $D$）を用いて、もつれ希釈および抽出の誤差指数を分析する。
• 組合せ的およびエントロピーに基づく境界を用いて、誤差確率の収束を示し、最適な複製のもつれコストが入力状態のエントロピーの $m$ 倍以下に有界であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適な $n$ から $m$ への複製機の出力状態が、$m$ 個の入力状態の真正コピーと同一のもつれコストおよび効率的もつれ抽出量を持つのはどのような条件下か？
• RQ2 普遍的もつれ濃縮を、既知の純粋状態に限らず、任意の対称状態へと一般化できるか？
• RQ3 もつれ測定値が同一であるにもかかわらず、最適な複製と真正の $m$ コピー状態との間で、もつれ希釈および抽出の誤差指数はどのように異なるか？
• RQ4 入力状態が完全に未知である場合、最適な複製のもつれコストおよび効率的もつれ抽出量について、$m$ 倍の入力状態のエントロピーの上界がタイトであるか？
• RQ5 入力状態がi.i.d.でない場合、特に量子複製の文脈において、もつれコストおよび効率的もつれ抽出量の運用的意味は何か？

主な発見

• 入力状態のスチェミット基底が位相を除いて既知である最適な $n$ から $m$ への複製機において、出力状態のもつれコストおよび効率的もつれ抽出量は、入力状態のエントロピーの $m$ 倍に正確に等しく、$m$ 個の真正コピーと同一の値を示す。
• もつれ測定値が同一であるにもかかわらず、最適な複製と $m$ 個の真正コピーとは、もつれ希釈および抽出における誤差指数で異なる。これは、もつれ量を超えた根本的な運用的差を示している。
• 入力状態が完全に未知である場合、最適な複製のもつれコストは、入力状態のエントロピーの $m$ 倍以下に有界であり、著者らはこの上界がタイトであると予想している。
• 理論により、任意の対称状態に対して普遍的もつれ濃縮が可能となり、入力状態の対称性以外の事前知識がなくてももつれ抽出が行える。
• 誤差確率が指数関数的に減少することを示し、減少率はエントロピー関数および相対エントロピー項によって決定される。レート $R$ が状態分布のエントロピーを上回る場合、境界はゼロに収束する。
• スチェミット基底が既知である場合、最適な複製のもつれコストおよび効率的もつれ抽出量は、$m$ コピーと正確に等しくなる。これは、物理的実装が異なっているにもかかわらず、もつれ量の面で驚くべき同等性を示している。