[論文レビュー] Entanglement Entropies in One-Dimensional Systems

Luca Taddia|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Quantum many-body systems参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本学位論文は、1次元量子系におけるもつれエントロピーを調査し、有限サイズ効果および格子効果に起因する conformal field theory (CFT) の予測に対する補正に注目する。解析的計算と数値的 DMRG シミュレーションを用いて、特にスピン鎖およびボソン的モデルにおいて、臨界系における普遍的でない補正を導出し、もつれエントロピーが標準的手法を越えて転移や臨界性の遷移を検出できる仕組みを明らかにする。

ABSTRACT

Entanglement entropies have revealed, in the last years, to be a powerful tool to extract information about the physics of condensed-matter systems. In the first part of this thesis, we show how to extract essential details about the quasi-long-range order of a one-dimensional critical systems by means of entanglement entropies. In the second part we show how to derive analytically the scaling of such quantities for critical systems, whose low-energy physics is described by a conformal field theory, in presence of general open boundary conditions that preserve the conformal invariance.

研究の動機と目的

• 1次元量子系におけるもつれエントロピーが臨界的挙動や相転移をどのように明らかにするかを理解すること。
• 臨界系における有限サイズおよび格子効果に起因する Rényi もつれエントロピーの非普遍的補正を解析的に計算すること。
• もつれエントロピーが量子スピン鎖およびボソン的モデルにおける遷移の性質や普遍性クラスをどのように探査できるかを示すこと。
• 数値的シミュレーションにおけるもつれデータから物理的パラメータ（例：Luttinger液体パラメータ）を抽出するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 臨界1次元系における Rényi もつれエントロピーの普遍的スケーリング形を導出するため、 conformal field theory (CFT) を用いる。
• 固定境界条件を有する開放系におけるもつれエントロピーを計算するため、境界 CFT の技法を適用する。
• 特に $c=1/2$ および $c=1$ の CFT に対して、格子効果および有限サイズスケーリングを用いて conformal 挙動への補正を導出する。
• スピン鎖およびハッバード型モデルにおけるもつれエントロピーを数値的に計算するために、密度行列の縮約化群（DMRG）アルゴリズムを用いる。
• minimal CFT における一次元演算子の相関関数を計算するため、チャノン的 conformal block および Pfaffian を用いる。
• スピン鎖における固定境界磁化を実現するため、射影子技術を導入し、非自明な境界条件を有する開放系の高精度な DMRG シミュレーションを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rényi もつれエントロピーの非普遍的補正が、臨界1次元系における普遍性クラスの同定にどのように影響するか？
• RQ2 標準的な秩序パラメータが失敗する系において、もつれエントロピーが遷移や相転移を検出できるか？
• RQ3 臨界スピン鎖およびボソン的モデルにおけるもつれエントロピーの格子効果および有限サイズ補正の解析的形は何か？
• RQ4 もつれエントロピーを用いて数値データから Luttinger liquid パラメータをどのように抽出できるか？
• RQ5 境界条件は、開放 conformal 系におけるもつれエントロピーをどのように変化させるか？

主な発見

• 非普遍的補正は、格子効果および有限サイズスケーリングに起因し、無視された場合、普遍的特徴が曇るか強調される可能性がある。
• $c=1/2$ の minimal CFT において、$2n$ 個のチャノン的演算子のもつれエントロピーは、挿入点間の逆距離行列の Pfaffian によって支配される。
• $c=1$ のコンパクト化された自由ボソンにおいて、もつれエントロピーは系サイズに比例する普遍的対数的スケーリングを示すが、境界条件および格子効果によって修正される。
• 本手法は、スピン 3/2 の XXZ 鏈および1次元引力的ハッバード模型における遷移を、もつれエントロピーの特徴から正確に検出できた。
• 境界磁化を固定するための射影子の使用により、非自明な境界条件を有する開放系の高精度 DMRG シミュレーションが可能になった。
• 補正の解析的公式の導入により、数値データのフィッティングが改善され、ノイズ低減と物理的パラメータの高精度抽出が可能になった。