[論文レビュー] Entanglement entropies of coupled harmonic oscillators

Koichi Nakagawa|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2016

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、結合された調和振動子系における拡張された量子もつれエントロピーを計算するための熱場力学（TFD）フレームワークを構築した。平衡状態ではエントロピーは温度および結合パラメータに依存するが、非平衡状況では時間とともに増加し、熱平衡に達して飽和する。これは熱力学第二法則と整合的である。この手法は物理的変数（K, η, t）を用いたもつれのパラメータ化に成功し、両状態において熱力学的整合性を確認した。

ABSTRACT

We investigate the quantum entanglement of systems of coupled harmonic oscillators on the basis of thermo-field dynamics (TFD). For coupled harmonic oscillators at equilibrium, the extended entanglement entropy is derived using the TFD method, and it is demonstrated to be controlled by temperature and coupling parameters. For non-equilibrium systems, in addition to temperature and coupling parameters, the time dependence of the extended entanglement entropy is calculated in accordance with the dissipative von Neumann equation, and the dissipative dynamics of the systems of coupled harmonic oscillators is discussed. Consequently, based on TFD, the physical parametrization of the entanglement entropies is confirmed in both the equilibrium and non-equilibrium cases of harmonic oscillator systems by means of the laws of thermodynamics.

研究の動機と目的

• 結合調和振動子系における拡張もつれエントロピーを計算するためのTFDに基づく形式的枠組みの開発。
• 平衡状態におけるもつれエントロピーが温度および結合パラメータにどのように依存するかの分析。
• 散乱のあるフォン・ノイマン方程式を用いて非平衡ダイナミクスへの形式的拡張。
• TFDによるもつれエントロピーのパラメータ化が熱力学的法則と物理的に整合することの検証。
• Feynman経路積分的手法を用いて、宇宙の残りの部分を含む系におけるもつれのモデリングへのTFDの適用可能性の提示。

提案手法

• 拡張密度行列は通常空間と随伴空間を含む二重ヒルベルト空間で定義され、熱状態ともつれ状態を同時に取り扱える。
• 拡張もつれエントロピーは $ \hat{S}_{\rm A} = -k_B \text{Tr}_{\rm A}[\hat{\rho}_{\rm A} \log \hat{\rho}_{\rm A}] $ として計算され、随伴空間への部分トレースによって $ \hat{\rho}_{\rm A} $ が得られる。
• 平衡状態では、TFDの一般表現定理（GRT）を用いて熱密度演算子から拡張密度行列が導出される。
• 非平衡状態では、時間発展は散乱のあるフォン・ノイマン方程式に従い、$ \hat{S}_{\rm A}(t) $ の計算が可能となる。
• 散乱ダイナミクスの解から得られる $ c(t) $, $ d(t) $, および $ c_0(t) $ の時間依存式が導出され、$ \hat{S}_{\rm A}(K,\eta;t) $ の数値評価が可能となる。
• パrameter $ K $, $ \eta $, $ t $ によるパラメータ化は、特に時間経過に伴うエントロピー増加を通じて熱力学第二法則との整合性を示すことにより検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合調和振動子系の拡張もつれエントロピーは、熱平衡状態において温度および結合強さにどのように依存するか？
• RQ2 熱場力学（TFD）形式的枠組みは、調和振動子系の平衡状態および非平衡状態におけるもつれエントロピーを一貫して記述できるか？
• RQ3 非平衡状態におけるもつれエントロピーの時間発展は、熱力学第二法則に従うか？
• RQ4 結合および熱化に関連するパrameter $ K $ および $ \eta $ は、もつれエントロピーの大きさおよびダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ5 TFDにおける拡張ヒルベルト空間形式は、量子もつれ効果と古典的・熱的フラクチュエーションを分離可能か？

主な発見

• 拡張もつれエントロピー $ \hat{S}_{\rm A}(K,\eta) $ は結合強さ $ K $ の増加に伴い減少し、強い結合ではもつれが弱まることを示している。
• エントロピーは $ \eta $ の増加に伴い増加し、TFDのパラメータ化において、より強い熱的または相互作用的効果がもつれを増強していることを反映している。
• 絶対零度では $ \hat{S}_{\rm A}(K,\eta) \to 0 $ となる。これはNernstの定理に一致し、熱的フラクチュエーションの不在を示している。
• 非平衡ダイナミクスでは $ \hat{S}_{\rm A}(K,\eta;t) $ は時間とともに単調に増加し、$ t \to \infty $ で飽和する。これは熱力学第二法則との整合性を確認するものである。
• 時間 $ t \to \infty $ における漸近的値は、独立に導出された平衡状態の式と一致し、時間発展モデルの妥当性が裏付けられた。
• 拡張もつれエントロピーの振幅は通常のもつれエントロピーを上回り、TFDにおける拡張ヒルベルト空間の物理的意味の重要性を確認した。