[論文レビュー] Entanglement Entropy and Boundary Conditions in 1+1 Dimensions

Ben Michel, Mark Srednicki|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2016

Quantum many-body systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1+1次元コンパクトボソン conformal field theory (c=1) における空間的区間の端における境界条件が、エンタングルメントエントロピーに与える影響を調査する。作用素法とヒートカーネル技法を用いて、空間的および時間的ノイマン境界条件が、Rényi エントロピーおよびエンタングルメントエントロピーを同一にすることを示している。これは、アフレック＝ルドルフ境界エントロピーに一致する普遍的定数項を含む。ディリクレ条件は、双対性によって関連する別の定数項をもたらし、連続的エンタングルメントエントロピー計算においてゼロモードの取り扱い方と境界条件の選択が果たす重要な役割を強調する。

ABSTRACT

Calculations of the entanglement entropy of a spatial region in continuum quantum field theory require boundary conditions on the fields at the fictitious boundary of the region. These boundary conditions impact the treatment of the zero modes of the fields and their contribution to the entanglement entropy. We explore this issue in the simplest example, the c=1 compact-boson conformal field theory in 1+1 dimensions. We consider three different types of boundary conditions: spatial Neumann, temporal Neumann, and Dirichlet. We argue that the first two are well motivated, and show that they lead to the same result for the Renyi entropies as well as the entanglement entropy, including a constant term that corresponds to the Affleck-Ludwig boundary entropy. The last set of boundary conditions is less well motivated, and leads to a different value of the constant term. The two values are related by a duality transformation on the compact boson. We also verify some of our results with heat-kernel methods.

研究の動機と目的

• 連続的量子場理論における空間的領域のエンタングルメントエントロピーを定義する際の境界条件の役割を明確化すること。
• 1+1次元 conformal field theory におけるエンタングルメントエントロピーへのゼロモード寄与の曖昧さを解消すること。
• 空間的ノイマン、時間的ノイマン、ディリクレ境界条件が、Rényi エントロピーおよびエンタングルメントエントロピーの計算において物理的に一貫しているかを比較すること。
• ヒートカーネル技法を用いて結果を検証し、アフレック＝ルドルフ境界エントロピーのような既知の結果と結びつけること。
• 異なる境界条件が、双対性によって関連する物理的に異なる定数項をエンタングルメントエントロピーに与えることを示すこと。

提案手法

• コンパクトボソン CFT におけるモジュラーハミルトニアンを、正準量子化および場の再定義により無限直線に写像することで解析する。
• 場およびその共役運動量に空間的ノイマン、時間的ノイマン、ディリクレ境界条件を適用し、密度行列およびエンタングルメントエントロピーへの影響を検討する。
• ヒートカーネル法を用いて、オシレーター分配関数を計算し、ゼロモードおよび高次モードの寄与を含む。
• ゼータ関数正則化およびエイゼンスタイン級数のクロネッカー極限公式を用いて、得られた分配関数を評価する。
• 全結果を標準的オシレーター分配関数と比較し、境界エントロピー項を同定する。
• 作用素法とヒートカーネル法の結果の整合性を検証し、デデキンドのエータ関数および境界エントロピー項の出現を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的ノイマン、時間的ノイマン、ディリクレ境界条件といった異なる境界条件が、1+1次元コンパクトボソン CFT におけるエンタングルメントエントロピーにどのように影響を与えるか？
• RQ2 なぜ空間的および時間的ノイマン境界条件は同じエンタングルメントエントロピーをもたらすのか、一方でディリクレ条件は別の定数項をもたらすのか？
• RQ3 ゼロモードが、エンタングルメントエントロピーにおける普遍的定数項を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 作用素法による結果とヒートカーネル正則化による結果は、どのように比較できるか？
• RQ5 ディリクレおよびノイマン境界条件の下で得られる2つの異なる定数項を結ぶ双対性の物理的意味は何か？

主な発見

• 空間的および時間的ノイマン境界条件は、Rényi エントロピーおよびエンタングルメントエントロピーを同一にし、アフレック＝ルドルフ境界エントロピーに一致する普遍的定数項を含む。
• ノイマン条件下でのエンタングルメントエントロピーの定数項は、$-\log \eta(i\beta/2L)$ として与えられ、コンパクトボソンにおける既知の境界エントロピーと一致する。
• ディリクレ境界条件は、コンパクトボソン上の双対性変換によって関連する別の定数項をもたらす。
• ヒートカーネル法は、正しいゼロモード寄与を含む、完全なオシレーター分配関数を再現し、作用素法の結果を確認する。
• ヒートカーネル展開の下位項（$I_2$ および $I_3$）は、正しい分配関数を回復するために不可欠であり、無視してはならない。
• 座標および運動量の再定義により、モジュラーハミルトニアンは無限直線上の自由場ハミルトニアンに写像され、明示的な計算が可能になる。