[論文レビュー] Entanglement entropy and conformal field theory

Pasquale Calabrese, John Cardy|arXiv (Cornell University)|May 25, 2009

Quantum many-body systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1+1次元量子系におけるエンタングルメントエントロピーを計算するための包括的な conformal field theory (CFT) フレームワークを提供する。レプリカ法とねじれ場を用いて、問題をリーマン面上の分配関数に写像する。主な結果は、普遍的な対数スケーリング $ S_A = \frac{c}{3}\ln\frac{\ell}{a} + c'_1 $ であり、ここで $ c $ は中心電荷である。これにより、エンタングルメントエントロピーが量子多体系における臨界性と普遍性を直接探査する手段であることが明らかになる。

ABSTRACT

We review the conformal field theory approach to entanglement entropy. We show how to apply these methods to the calculation of the entanglement entropy of a single interval, and the generalization to different situations such as finite size, systems with boundaries, and the case of several disjoint intervals. We discuss the behaviour away from the critical point and the spectrum of the reduced density matrix. Quantum quenches, as paradigms of non-equilibrium situations, are also considered.

研究の動機と目的

• 臨界な1+1次元量子系におけるエンタングルメントエントロピーを計算するための厳密なCFTに基づく手法を確立すること。
• 有限サイズ系、境界、欠損、複数の非連結区間へのエンタングルメントエントロピーの公式を一般化すること。
• 縮約密度行列のスペクトルとそのコンフォーマルスケーリング性を分析すること。
• 量子クイエンチを介した非平衡ダイナミクスを研究し、ポイントコントラクトにおける量子ノイズを用いた実験的検出法を提案すること。
• エンタングルメントエントロピーと量子ポイントコントラクトにおける電荷輸送のモーメント（累積量）といった測定可能な量を結びつけること。

提案手法

• レプリカ法を適用：Rényiエントロピー $ S_A^{(n)} = \frac{1}{1-n}\ln{\rm Tr}\,\rho_A^n $ を計算し、$ n \to 1 $ への解析接続を行う。
• レプリカ分配関数を、エンタングルメント点にねじれ場を挿入した $ n $ 枚のシートからなるリーマン面への経路積分に写像する。
• CFT技術を用いて分岐被覆空間上の分配関数を計算し、対数発散からエンタングルメントエントロピーを抽出する。
• 臨界系における単一区間に対して、普遍的スケーリング $ S_A = \frac{c}{3}\ln\frac{\ell}{a} + c'_1 $ を導出する。
• ねじれ場の相関関数を計算し、そのコンフォーマル次元を分析することで、複数区間への一般化を行う。
• 量子ポイントコントラクトにおける電荷輸送のフルカウンティング統計を、$ S_A = \sum_{m>0} \frac{\alpha_m}{m!} C_m $ を通じてエンタングルメントエントロピーと関連づける。ここで $ \alpha_m $ はベルヌーイ数を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元臨界系における単一区間のエンタングルメントエントロピーは、コンフォーマル場理論を用いてどのように計算できるか？
• RQ2 有限サイズ系、有限温度、境界、欠損がある場合のエンタングルメントエントロピーの振る舞いはいかなるものか？
• RQ3 複数の非連結区間を有する系では、特に2つの区間の場合、エンタングルメントエントロピーはどのようにスケーリングするか？
• RQ4 小さな質量項（マージナルまたは有効な摂動）がエンタングルメントエントロピーの普遍的対数スケーリングに与える影響は何か？
• RQ5 ポイントコントラクトを介した輸送における量子ノイズを用いて、エンタングルメントエントロピーを実験的に測定できるか？

主な発見

• 1+1次元臨界系における単一区間のエンタングルメントエントロピーは、$ S_A = \frac{c}{3}\ln\frac{\ell}{a} + c'_1 $ として普遍的にスケーリングする。ここで $ c $ は中心電荷、$ \ell $ は区間長である。
• 局所的量子クイエンチの下では、エンタングルメントエントロピーは時間とともに対数的に増加し、$ S_A \sim \frac{1}{3}\ln|t_1 - t_0| $ と表される。係数は中心電荷に関連している。
• 量子ポイントコントラクトが存在する場合、透過電荷のフルカウンティング統計は測定可能なモーメント $ C_m $ を与え、これらは $ S_A = \sum_{m>0} \frac{\alpha_m}{m!} C_m $ を通じてエンタングルメントエントロピーと直接関連している。
• 自由フェルミオン系（$ c=1 $）ではノイズはガウス分布的であり、$ C_2 \sim \frac{1}{\pi^2}\ln\frac{t_1 - t_0}{\tau} $ と表され、これにより $ S_A \sim \frac{1}{3}\ln|t_1 - t_0| $ が得られ、CFTの予測と一致する。
• Luttinger液体のような相互作用系ではノイズは依然として対数的だが、係数は中心電荷ではなく、フィラメント密度 $ \nu $ に依存する。
• イジング模型ではノイズは対数的ではなく代数的であるため、フルカウンティング統計とエンタングルメントエントロピーの関係は、すべての普遍性クラスにわたって普遍的ではないことが示唆される。