[論文レビュー] Entanglement entropy and quantum field theory: a non-technical introduction

Pasquale Calabrese, John Cardy|ArXiv.org|May 25, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、コンformal field theory (CFT) で記述される1+1次元の量子臨界点における量子場理論におけるもつれエントロピーについて、技術的でない入門を提供する。経路積分法を用いて部分系のもつれエントロピーを導出し、単一の区間に対しては $ S_A = \frac{c}{6} \log\left(\frac{\ell}{a}\right) + \text{const} $ と、$ c $ が中心電荷で $ \ell $ が区間長であるように対数的にスケーリングすることを示す。さらに、複数の区間や質量のある（臨界でない）状態への一般化も導出されている。

ABSTRACT

In these proceedings we give a pedagogical and non-technical introduction to the Quantum Field Theory approach to entanglement entropy. Particular attention is devoted to the one space dimensional case, with a linear dispersion relation, that, at a quantum critical point, can be effectively described by a two-dimensional Conformal Field Theory.

研究の動機と目的

• 形式的でない、技術的でない説明を通じて、熟練していない研究者向けに量子場理論におけるもつれエントロピーを教えること。
• 1+1次元の量子系が臨界点にあるとき、もつれエントロピーがどのようにCFTによって記述されるかを説明すること。
• 中心電荷 $ c $ と部分系サイズ $ \ell $ を用いたもつれエントロピーの普遍的対数的スケーリングを導出すること。
• 非臨界で質量のある系（有限な相関長さ $ \xi $ を持つ）に一般化し、複数の非連結区間に対しても形式的拡張を行うこと。
• 質量のある状態において $ \frac{c}{6} \log \frac{\xi}{a} $ のスケーリングが有効であることを確認し、イジング模型やXXZ模型のようなモデルで数値的に検証すること。

提案手法

• レプリカトリックを用いて、経路積分表現による縮約密度行列ともつれエントロピーの計算を行う。
• 2次元ユークリッド空間におけるCFTの技術を用い、一様化変換により系をリーマン面に写像する。
• 単一の区間に対するもつれエントロピーを $ S_A = \frac{c}{6} \log\left(\frac{\ell}{a}\right) + \tilde{c}_1' $ として導出し、$ c $ を中心電荷とする。
• 複素解析とコンフォーマル写像下での不変量（クロス比）を用いて、複数の非連結区間への一般化を実行する。
• 有限な相関長さ $ \xi $ を持つ質量のあるQFTに拡張し、$ \xi \to \infty $ の極限で $ S_A = \frac{c}{6} \log\left(\frac{\xi}{a}\right) $ を得る。
• 1次元イジング模型とXXZ模型の正確解を用いた数値的検証により、$ c = 1/2 $ と $ c = 1 $ のそれぞれに対して $ \frac{c}{6} \log \xi $ スケーリングが確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元の量子系が量子臨界点にあるとき、もつれエントロピーは部分系サイズにどのように依存するか？
• RQ2 中心電荷 $ c $ がもつれエントロピーの普遍的対数的スケーリングを決定する役割を果たすか？
• RQ3 系が臨界点からわずかにずれた状態（有限な相関長さ $ \xi $ を持つ）にあるとき、もつれエントロピーはどのように振る舞うか？
• RQ4 複数の非連結区間に対し、CFTの技術を用いてもつれエントロピーを計算できるか？
• RQ5 質量のある系において $ \frac{c}{6} \log \frac{\xi}{a} $ のスケーリング則は、さまざまなモデルに普遍的か？

主な発見

• 1+1次元のCFTにおける長さ $ \ell $ の単一の区間に対して、もつれエントロピーは $ S_A = \frac{c}{6} \log\left(\frac{\ell}{a}\right) + \tilde{c}_1' $ と普遍的にスケーリングする。ここで $ c $ は中心電荷、$ a $ はUVカットオフである。
• 複数の非連結区間に対しては、端点の位置を含む対数項の和としてもつれエントロピーが与えられ、$ S_A = \frac{c}{3} \left( \sum_{j\leq k} \log\frac{v_k - u_j}{a} - \sum_{j<k} \log\frac{u_k - u_j}{a} - \sum_{j<k} \log\frac{v_k - v_j}{a} \right) + N c_1' $ の形を取る。
• 有限な相関長さ $ \xi $ を持つ質量のある1+1次元QFTでは、$ \xi \gg a $ のときもつれエントロピーは $ S_A = \frac{c}{6} \log\left(\frac{\xi}{a}\right) $ とスケーリングし、普遍的であることが確認された。
• 1次元イジング模型の数値結果は、$ c = 1/2 $ のとき $ \frac{c}{6} \log \xi $ スケーリングが成り立つことを確認しており、$ \xi \to \infty $ の極限で $ S_A \sim \frac{1}{12} \log \xi $ となる。
• 質量のある状態ではクラスタ分解性が成り立つ：$ \xi $ がそれらのサイズよりも大きい非連結区間は、$ S_A = \mathcal{A} \frac{c}{6} \log\left(\frac{\xi}{a}\right) $ のように加法的にエントロピーに寄与する。ここで $ \mathcal{A} $ は境界点の数である。
• 有限温度系への形式的拡張により、$ S_A(\beta) \sim \frac{c}{6} \log\left( \frac{\beta}{\pi a} \sinh\left( \frac{2\pi \ell}{\beta} \right) \right) $ が得られ、高温極限では広義のスケーリングが回復される。