[論文レビュー] Entanglement Entropy and the Fermi Surface

Brian Swingle|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Aug 12, 2009

Quantum many-body systems被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、フェルミ面を持つ自由フェルミ粒子系におけるエンタングルメントエントロピーの異常な $ L^{d-1} \log L $ スケーリングを、低エネルギー励起状態を一様な1+1次元のヘリカルモードの集合に写像することによって、直感的な場の理論的説明を提供する。主な結果は、対応する実空間境界に垂直に伝搬する有効モード数が、実空間法線とフェルミ面法線の内積を含むウィドムの公式によって定量化され、その結果として対数補正が生じることである。

ABSTRACT

Free fermions with a finite Fermi surface are known to exhibit an anomalously large entanglement entropy. The leading contribution to the entanglement entropy of a region of linear size $L$ in $d$ spatial dimensions is $S\sim L^{d-1} \log{L}$, a result that should be contrasted with the usual boundary law $S \sim L^{d-1}$. This term depends only on the geometry of the Fermi surface and on the boundary of the region in question. I give an intuitive account of this anomalous scaling based on a low energy description of the Fermi surface as a collection of one dimensional gapless modes. Using this picture, I predict a violation of the boundary law in a number of other strongly correlated systems.

研究の動機と目的

• フェルミ面を持つ自由フェルミ粒子系における $ L^{d-1} \log L $ エンタングルメントエントロピーのスケーリングの起源を理解すること。
• 低エネルギー有効モードを用いて、この異常なスケーリングの物理的で直感的な画像を提供すること。
• エンタングルメントエントロピーのウィドムの公式を、フェルミ面上のヘリカル1+1次元モードの物理と結びつけること。
• この直感を他の強い相関系にまで拡張し、境界則の破れを予測すること。

提案手法

• フェルミ面近傍の低エネルギーフェルミオン励起状態を、局所的なフェルミ速度方向に沿って伝搬するヘリカル1+1次元モードに写像する。
• フェルミ面上の各点を、線形分散関係と固定されたヘリシティを持つ無エネルギーのヘリカルモードの源とみなす。
• 実空間境界の領域とフェルミ面の法線を用いて、$ |n_x \cdot n_k| $ を用いて垂直に交差する有効モード数を計算する。
• すべての境界領域とフェルミ面要素について統合することで、すべてのヘリカルモードからのエンタングルメント寄与を合算する。
• 区間の二重カウントを補正するため、$ 1/2 $ の係数を含める。これは1次元CFTの結果と整合する。
• 全エンタングルメントエントロピーの公式を $ S \sim \frac{1}{6} \frac{\log L}{2} \int \int \frac{dA_x dA_k}{(2\pi)^{d-1}} |n_x \cdot n_k| $ として導出し、ウィドムの公式と一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜフェルミ面を持つ自由フェルミ粒子系のエンタングルメントエントロピーは、標準的な $ L^{d-1} $ の境界則ではなく、$ L^{d-1} \log L $ にスケーリングするのか？
• RQ2 ヘリカル1+1次元モードの図像は、エンタングルメントエントロピーの対数補正をどのように説明できるか？
• RQ3 ウィドムの公式における $ |n_x \cdot n_k| $ 要素の物理的意味は何か？
• RQ4 この有効モード図像は、他の強い相関系における境界則の破れを予測できるか？
• RQ5 フェルミ面が出現する量子臨界点近くでは、エンタングルメントエントロピーはどのように振る舞うか？

主な発見

• 異常な $ L^{d-1} \log L $ スケーリングは、フェルミ面に相当するヘリカル1+1次元モードの集団的寄与によって生じる。
• エンタングルメントエントロピーは、実空間境界に垂直に伝搬する有効モード数に、$ |n_x \cdot n_k| $ で重み付けされたものによって決定される。
• 全公式は、鋭いフェルミ面を持つ自由フェルミ粒子系におけるウィドムの予想を再現する。
• この理論は、ギャップのない1+1次元ヘリカルモードが多数存在する系は境界則を破ると予測する。
• 対数補正は、非ユニバーサルな境界則項よりも速く増加するため、数値シミュレーションで検出可能なシグネチャーとなる。
• この結果は、このような系ではテンソルネットワーク法がそのエンタングルメント構造のため失敗する可能性があり、代わりに正確な対角化法がより適している可能性を示唆している。