[論文レビュー] Entanglement Entropy, Chemical Potential, Current Source, and Wilson Loop

Bom Soo Kim|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Quantum many-body systems参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元ディラックフェルミオンがトーラス上に配置され、背景の化学ポテンシャル、電流源、ウィルソンループを持つ場合のエンタングルメントおよびリーニーiエントロピーを、$\bbZ_n$オルビフォールド頂点演算子の相関関数を用いて解析的に計算している。主な結果として、エンタングルメントエントロピーは離散的なウィルソンループ値 $w = 2p - 1$ においてトポロジカルな相転移を示し、エネルギー準位のアライメントに依存する非単調な振るまいを示すが、大半の半径極限では $\beta$-依存パラメータに依存しない。

ABSTRACT

We construct and analytically compute entanglement and the Rényi entropies of Dirac fermions on a 2 dimensional torus in the presence of background chemical potential, current source and Wilson loop, by employing correlation functions of the electromagnetic vertex operators of $\mathbb{Z}_n$ orbifold theory. The entropies reveal numerous novelties. They probe the energy levels of compact fermions through the chemical potential, demonstrate interference phenomena with the current source being `beat frequency,' and experience topological phase transitions by dialing the Wilson loop, in the low temperature limit. In the large radius limit, they depend only on the Wilson loop via topological transitions, which are tightly linked to conformal dimension of the electromagnetic operators.

研究の動機と目的

• 外部ゲージ場およびトポロジカル背景下における2次元ディラックフェルミオンのエンタングルメントおよびリーニーiエントロピーを計算する一般的な解析的フレームワークを構築すること。
• 低温および大半径極限における化学ポテンシャル、電流源、ウィルソンループがエンタングルメント構造に与える影響を調査すること。
• 電磁気的頂点演算子のコンフォーマル次元がエンタングルメントエントロピーにおけるトポロジカルな相転移を決定づける役割を明確化すること。
• 従来の独立性の主張とは対照的に、化学ポテンシャルおよび電流源に依存する非自明な依存性を示すことで、先行研究における矛盾を解消すること。
• 無限大および大半径系におけるリーニーiおよびエンタングルメントエントロピーのトポロジカルなウィルソンループ依存性を一般化し、トポロジカル不変性に関する先行結果を拡張すること。

提案手法

• $\bbZ_n$オルビフォールド理論における電磁気的頂点演算子 $\sigma_{w,k}$ の相関関数を用い、レプリカトリックと組み合わせてリーニーiエントロピーを計算する。
• コンフォーマル場理論の技術を用い、エンタングルメントエントロピーをヤコビのシータ関数 $\vartheta_1$ およびデデキンドのイータ関数 $\eta(\tau)$ を用いて表現する。
• リーニーiエントロピーを $S_{w,n}^0 = D_{w,n} \log\left| \frac{2\pi\eta(\tau)^3}{\vartheta_1(\ell_t/(2\pi L) \mid \tau)} \right|^2$ として導出する。ここで $D_{w,n}$ はウィルソンループおよびトポロジカル転移効果を符号化している。
• 化学ポテンシャル $\mu$ および電流源 $J$ を熱的トレースに $\cosh(l\beta\mu)/\sinh(l\beta/2)$ 要素として組み込むことにより、スピン構造依存のエントロピー $S_{w,n}^{\mu J}$ を導入する。
• UV発散を含まないトポロジカルおよびゲージ依存寄与を分離するために、相互情報量 $I_n(A,B) = S_n(A) + S_n(B) - S_n(A\cup B)$ を計算する。
• モジュラスパラメータ $\alpha = 2\pi\tau_1$ を用いて相転移を分析し、$w$-依存の $\alpha_{w,k}$ 値が $w = (2p-1)\pi/n$ で $D_{w,n}$ に段階的変化を引き起こす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低温極限における2次元ディラックフェルミオンのエンタングルメントエントロピーに、化学ポテンシャルおよび電流源がどのように影響を与えるか。
• RQ2 ウィルソンループがエンタングルメントエントロピーにおけるトポロジカルな相転移を誘発する役割は何か。また、これは頂点演算子のコンフォーマル次元とどのように関係するか。
• RQ3 従来の独立性の主張とは対照的に、なぜエンタングルメントエントロピーが化学ポテンシャルに非自明に依存するのか。また、これは無限大系の極限とどのように調和するのか。
• RQ4 大半径極限が、化学ポテンシャル、電流源、ウィルソンループに依存するエントロピーの依存性にどのように影響を与えるか。また、これは無限大系に何を示唆するか。
• RQ5 相互情報量とリーニーiエントロピーは、ゲージ場およびトポロジカルパラメータに関して、どの程度同じ関数的依存性を共有するか。

主な発見

• エンタングルメントエントロピーは化学ポテンシャル $\mu$ に非自明に依存し、$\mu$ がディラックフェルミオンのエネルギー準位と一致する場合に有限な寄与を示す。これは、従来の独立性の主張とは矛盾する。
• リーニーiエントロピーは電流源 $J$ に対して周期的であり、モジュラスパラメータ $\alpha = 2\pi\tau_1$ を変化させると「ビート周波数」としての役割を果たし、エンタングルメントに干渉パターンを引き起こす。
• トポロジカルな相転移は整数 $p$ に対して離散的なウィルソンループ値 $w = 2p - 1$ で発生し、エンタングルメントエントロピーは各転移範囲 $2p-1 \leq w < 2p+1$ 内で段階的にかつ非単調に増加する。
• 大半径極限では、エントロピーは $D_{w,n}$ を通じてウィルソンループ $w$ のみに依存し、$\mu$ および $J$ 依存性は $\mathcal{O}(\ell_t/(2\pi L))^2$ のオーダーで抑制される。これは、無限大系における区間エントロピーが $\mu$ に依存しないという主張を支持する。
• スピン構造依存エントロピー $S_{w,n}^{\mu J}$ は、$w$-依存項 $p \cos(\ell_t l(w - 2p\pi)/(2\pi L))$ において $p$ に対して線形依存性を示し、$w$ の増加に伴い段階的にエントロピーが増加する。
• 相互情報量はエンタングルメントエントロピーと同一の関数的依存性を $\mu$、$J$、$w$ に関して共有する。特に反周期的フェルミオンでは、区間間隔に依存せず、トポロジカルな頑健性を示す。