[論文レビュー] Entanglement Entropy for Descendent Local Operators in 2D CFTs

Bin Chen, Wu-zhong Guo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、2次元有理的 conformal field theory (CFT) における局所的後続演算子のRényiエントロピーおよびエンタングルメントエントロピーを調査し、主な演算子に $ \mathcal{L}^{(-)}\bar{\mathcal{L}}^{(-)} $ が作用する後続演算子に対して、エントロピーの増加が主な演算子の対数的量子次元 $ \log d_p $ に正確に一致することを示している。より一般的な後続演算子、特にホロモーフィックおよびアンチホロモーフィックのVirasoro生成子を混合して含むものについては、追加のエンタングルメント補正項が生じ、局所的励起に加えて摂動的変形もさらにエントロピーに寄与する。

ABSTRACT

We mainly study the Rényi entropy and entanglement entropy of the states locally excited by the descendent operators in two dimensional conformal field theories (CFTs). In rational CFTs, we prove that the increase of entanglement entropy and Rényi entropy for a class of descendent operators, which are generated by $\cal{L}^{(-)}\bar{\cal{L}}^{(-)}$ onto the primary operator, always coincide with the logarithmic of quantum dimension of the corresponding primary operator. That means the Rényi entropy and entanglement entropy for these descendent operators are the same as the ones of their corresponding primary operator. For 2D rational CFTs with a boundary, we confirm that the Rényi entropy always coincides with the logarithmic of quantum dimension of the primary operator during some periods of the evolution. Furthermore, we consider more general descendent operators generated by $\sum_{} d_{\{n_i\}\{n_j\}}(\prod_{i} L_{-n_i}\prod_{j}{\bar L}_{-n_j})$ on the primary operator. For these operators, the entanglement entropy and Rényi entropy get additional corrections, as the mixing of holomorphic and anti-holomorphic Virasoro generators enhance the entanglement. Finally, we employ perturbative CFT techniques to evaluate the Rényi entropy of the excited operators in deformed CFT. The Rényi and entanglement entropies are increased, and get contributions not only from local excited operators but also from global deformation of the theory.

研究の動機と目的

• 2次元CFTにおけるエンタングルメントエントロピーの先行研究を、主な演算子から後続の局所的演算子へと拡張すること。
• 特にホロモーフィックおよびアンチホロモーフィックのVirasoro生成子を含む後続演算子の構造がエンタングルメントエントロピーに与える影響を理解すること。
• 境界CFT（BCFT）における後続励起状態のRényiエントロピーおよびエンタングルメントエントロピーの挙動を分析すること。
• 摂動的CFTにおける局所的励起とグローバル変形の両方がRényiエントロピーに与える組み合わせ的効果を調査すること。

提案手法

• Rényiエントロピーの計算にレプリカトリックを用い、$ S_n^{(n)} = \frac{1}{1-n}\log\operatorname{Tr}(\rho_A^n) $ を用い、von Neumannエントロピーへの解析接続 $ n \to 1 $ を行う。
• 座標変換下での相関関数変換のため、演算子積展開（OPE）およびコンフォーマル写像を含むCFT技術の適用。
• 最小モデルにおける簡単な後続状態のRényiエントロピーを明示的に計算し、量子次元の対数と一致することを検証。
• 一般の後続演算子 $ \prod L_{-n_i} \prod \bar{L}_{-n_j} O $、特にストレステンソルの後続状態を含む、コンフォーマル変換則の導出。
• 境界対称性を保つ境界条件を用いた境界CFTの分析を行い、Rényiエントロピーの時間発展を計算。
• 摂動的CFTにおけるRényiエントロピーの評価を行い、局所的励起とグローバル変形の寄与を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元有理的CFTにおける後続演算子のRényiエントロピーおよびエンタングルメントエントロピーは、$ \mathcal{L}^{(-)}\bar{\mathcal{L}}^{(-)} $ によって生成される場合、その対応する主な演算子のそれと一致するか？
• RQ2 ホロモーフィックおよびアンチホロモーフィックのVirasoro後続状態が、主な演算子の量子次元を越えてエンタングルメントエントロピーに与える影響は何か？
• RQ3 境界CFTにおいて、時間発展を経ても、後続状態のRényiエントロピーは依然として主な演算子の対数的量子次元に等しい最大値に達するか？
• RQ4 複数の $ L_{-n} $ および $ \bar{L}_{-n} $ 生成子を含む一般的な後続演算子に対して、Rényiエントロピーに追加の補正項が生じる構造は何か？
• RQ5 グローバル変形が、局所的励起状態のRényiエントロピーに、局所的励起項を超えてどのように寄与するか？

主な発見

• 主な演算子に $ \mathcal{L}^{(-)}\bar{\mathcal{L}}^{(-)} $ が作用する後続演算子に対して、Rényiエントロピーおよびエンタングルメントエントロピーの増加は、正確に主な演算子の対数的量子次元 $ \log d_p $ に一致する。
• 境界を持つ2次元有理的CFTにおいても、後続状態のRényiエントロピーは依然として最大値 $ \log d_p $ に達するが、境界の影響により時間発展が変化する。
• 複数の $ L_{-n_i} $ および $ \bar{L}_{-n_j} $ 生成子を含む一般的な後続演算子に対して、ホロモーフィックおよびアンチホロモーフィックのセクター間の混合に起因する追加のエンタングルメント補正項が生じる。
• 摂動的解析により、変形CFTにおけるRényiエントロピーは、局所的励起の寄与とグローバル変形の寄与の和として表され、後者は変形ハミルトニアンに起因する。
• 最小モデルにおける明示的計算により、簡単な後続状態の $ \Delta S^{(2)} $ が $ \log d_p $ と一致することが確認され、一般結果を支持する。
• 座標変換下での後続演算子のコンフォーマル変換則が体系的に導出され、レプリカトリックフレームワークにおける相関関数の計算が可能になった。