[論文レビュー] Entanglement Entropy for Disjoint Subsystems in XX Spin Chain

Bai-Qi Jin, V. E. Korepin|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2011

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、自由フェルミオン技法を用いて、XXスピンチェーンの基底状態における複数の非隣接区間のエンタングルメントエントロピーの正確な行列式表現を提示する。フェルミオン写像を非連続な部分系に一般化することで、ブロック・トーペリッツ行列式表現が得られ、Rényiエントロピーおよびフォン・ノイマンエントロピーの解析的取り扱いが可能になる。主な結果として、無限大サイズ極限において、長さが等しく、等間隔に配置された2つの区間間の相互情報量が、臨界相であっても消えることが示された。

ABSTRACT

Fisher-Hartwig formula has been successful applied to describe the von Neumann and Rényi entropies of a block of spins in the ground state of XX spin chain. It was based on a determinant representation. In this paper, we generalize the free fermion method to obtain an exact formulation for the entropy of any finite subsystem in XX spin chain. Based on this, we derive a determinant representation of the entropy of multiple disjoint intervals in the ground state of $XX$ model.

研究の動機と目的

• 連続でない部分系へと自由フェルミオン法を拡張し、XXスピンチェーンにおける複数の非隣接区間の正確なエンタングルメントエントロピーを導出すること。
• マヨラナフェルミオン演算子とウィックの定理を用いて、非連続な部分系に対する縮約密度行列の行列式表現を確立すること。
• 臨界XXチェーンにおける2つの非隣接区間間の相互情報量を解析し、その漸近的挙動を特定すること。
• 非隣接部分系を有する拡張された量子スピン系におけるエンタングルメントエントロピーの解析的取り扱いのためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• ジョルダン＝ヴァイフェル転換を用いてXXスピンチェーンを自由マヨラナフェルミオン系に写像し、全チェーン用と部分系Aに制限された2種類のマヨラナ演算子を定義する。
• ウィックの定理を用いて、部分系Aの制限されたマヨラナ演算子のすべての2点相関関数 ⟨GS|~cₘ~cₙ|GS⟩ を計算する。これらはAおよびB内のサイトの位置に依存する。
• 縮約密度行列の相関構造を表すブロック行列Aを構築し、A内の区間に対応するブロックと、B内のギャップを介した相関を符号化する非対角ブロックを含む。
• 相関行列Aの固有値を用いてエンタングルメントエントロピーを表現し、フォン・ノイマンエントロピーの式 S = -∑ᵢ λᵢ log λᵢ + (1 - λᵢ) log(1 - λᵢ) を用いる。
• XXモデルのフーリエ記号 g(θ) に依存する生成子を有する、ブロック・トーペリッツに類似た行列 Tₘₙ としてエントロピーの行列式表現を導出する。
• フィッシャー＝ハートウィッグの公式を用いて、特に2つの非隣接区間間の相互情報量の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由フェルミオン法は、XXスピンチェーンにおける非連続的で複数の非隣接区間のエンタングルメントエントロピーを計算するために一般化可能か？
• RQ2 XXモデルの基底状態において、非隣接区間からなる部分系の縮約密度行列の構造はいかなるものか？
• RQ3 熱力学的極限において、2つの非隣接区間間の相互情報量はどのようにスケーリングするか。特に臨界相においては？
• RQ4 複数の非隣接区間のエンタングルメントエントロピーに対して、行列式表現を導出可能か。これにより解析的取り扱いが可能になるか？
• RQ5 分離された2つの区間間の相互情報量は、無限大サイズ極限においても消えるのか。たとえ系が量子臨界点にあっても？

主な発見

• 自由フェルミオン技法と相関行列を用いて、XXスピンチェーンにおける任意の有限で非連続な部分系のエンタングルメントエントロピーの正確な行列式表現が導出された。
• 非連続部分系の縮約密度行列は、固有値がフォン・ノイマンエントロピーおよびRényiエントロピーを決定するブロック・トーペリッツに類似た相関行列で表現された。
• 臨界XXチェーンにおいて、長さmで間隔mの2つの非隣接区間について、相互情報量 I_{A₁:A₂} は大規模なmについて数値的に計算された。
• 相互情報量はmの増加に伴い減少し、m → ∞ の極限で0に近づくことから、区間間の漸近的独立性が示された。
• この結果により、臨界相であっても、区間長と分離距離が両方とも無限大に発散するとき、非隣接区間間の長距離エンタングルメントが消えることが確認された。
• 本稿では、非隣接部分系を有する拡張された量子スピン系におけるエンタングルメントエントロピーの解析的研究の一般フレームワークが確立された。