[論文レビュー] Entanglement entropy for even spheres

J. S. Dowker|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、静的de Sitter空間における有限温度エネルギー密度をホライズンまで積分することで、偶数次元球面上のエンタングルメントエントロピーにおける対数係数を局所的熱力学的手法により計算する。その後、その結果をホライズンで積分し、対数項を抽出する。その結果は、一般化されたベルヌーイ多項式を用いて導出されたd次元球面上の負の共形異常と一致し、Bransonの高階GJMSラプラシアンに対しても確認されている。これにより、ホログラフィーに依存しない、局所的エネルギー密度の積分から生じる共形異常の導出がなされた。

ABSTRACT

The coefficient of the logarithmic term in the entropy on even spheres is re-computed by the local technique of integrating the finite temperature energy density up to the horizon on static d--dimensional de Sitter space and thence finding the entropy by thermodynamics. Numeric evaluation yields the known answer i.e. (minus) the conformal anomaly on the d-sphere. The de Sitter quantities are obtained by conformal transformation of the Rindler ones, themselves obtained, for convenience, from those around a cosmic string. The expressions are given in terms of generalised Bernoulli polynomials for which an identity is derived. The arising spherical conformal anomaly is discussed and a formula is given for it for Branson's higher GJMS Laplacian, P_2k, as an oscillating polynomial in the level, k.

研究の動機と目的

• 偶数次元球面上のエンタングルメントエントロピーにおける対数項を、局所的熱力学的手法を用いて再計算すること。
• 対数係数とd次元球面上の共形異常との間の関係を確立すること。
• 一般化されたベルヌーイ多項式を用いて、高階GJMSラプラシアンP2kに関連する共形異常の式を導出し、検証すること。
• de Sitter空間における有限温度場理論のエネルギー密度の局所的積分により、共形異常をホログラフィーに依存しない方法で導出すること。

提案手法

• 静的de Sitter空間において、オフシェルでの有限温度エネルギー密度⟨T₀₀⟩βを統合する熱力学的手法を用いる。
• 宇宙ひも幾何から導かれるランデル空間からの共形変換を適用し、de Sitter空間におけるエネルギー密度補正を求める。
• 空間スライス上でエネルギー密度をUVカットオフZ = ǫ/2まで積分し、内部エネルギーを計算。その後、S(β) = βE′(β) − ∫β E′(β) dβによりエントロピーを求める。
• ホライズンでのオンシェル限界β = 2π（ギブスン＝ホーキング温度）をとることで、エントロピーにおける対数項を抽出する。
• 共形異常とエントロピー係数を結ぶ非自明なオフシェル関係を導く、一般化されたベルヌーイ多項式を用いた新しい恒等式を導出する。
• ホログラフィック法およびグローバル有効作用法と比較することで結果を検証し、既知の異常値と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元球面上のエンタングルメントエントロピーにおける対数係数は何か？ また、共形異常とどのように関係しているか？
• RQ2 de Sitter空間におけるエネルギー密度の局所的熱力学的統合から、d次元球面上の共形異常を導出できるか？
• RQ3 一般化されたベルヌーイ多項式は、高階GJMSラプラシアンP2kの共形異常の構造をどのように記述するか？
• RQ4 有限温度場理論におけるde Sitter空間で、球面上の共形異常を直接的かつホログラフィーに依存しない方法で導出できるか？

主な発見

• 偶数次元球面上のエンタングルメントエントロピーにおける対数係数は、d次元球面上の共形異常の負と等しく、普遍的関係が確認された。
• 本手法により、de Sitter空間における有限温度エネルギー密度の局所的積分によって、既知の共形異常が正確に再現された。
• 共形異常とエントロピー係数を結ぶ非自明なオフシェル関係を導く、一般化されたベルヌーイ多項式に関する新しい恒等式が得られた。
• Bransonの高階GJMSラプラシアンP2kに対しては、共形異常がkの多項式として与えられ、d = 4, 6, 8, 10, 12について明示的に計算された。
• 異常に対する多項式表現は振動的であり、kが整数値より小さい点で極値を示しており、k ≤ d/2の範囲ではゼロモードが存在しないことと整合的である。
• Diazによる以前のホログラフィック計算と一致し、AdS/CFT双対性に依存しない方法でも一貫性があることが確認された。