[論文レビュー] Entanglement Entropy from Numerical Holography

Christian Ecker|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 11

ひとこと要約

本学位論文は、負の宇宙定数を有する5次元アインシュタイン重力理論を用いて、強い結合・非平衡量子系におけるエンタングルメントエントロピーを計算し、量子ヌルエネルギー条件（QNEC）を検証する数値ホログラフィー枠組みを提示する。研究では、狭いショック波が古典的ヌルエネルギー条件を破る状況であってもQNECが成立することが確認され、また、平衡に近い状態におけるエンタングルメントエントロピーのダイナミクスが、異方的系において準正規モードによってよく記述されることを示した。

ABSTRACT

In this thesis I present numerical studies of entanglement entropy and the quantum null energy condition in strongly coupled far-from-equilibrium quantum states using holography. I give a careful introduction into the numerical methods used and provide the computer codes to compute entanglement entropy and the quantum null energy condition. These methods are then applied to systems of various degrees of complexity, including homogeneous and isotropic far- from-equilibrium quantum quenches dual to Vaidya spacetimes, to homogeneous and anisotropic finite temperature states dual to anisotropic black brane geometries, and to inhomogeneous and anisotropic states of colliding walls of energy dual to gravitational shock wave collisions in Anti-de Sitter space. For all these scenarios I compute the fully non-linear dynamics of the dual geometry, which requires to numerically solve five-dimensional Einstein equations with negative cosmological constant and asymptotic Anti-de Sitter boundary conditions. The numerical solutions for the geometries allow to extract the time evolution of the holographic energy momentum tensor and provides the background for computing two-point functions, entanglement entropy and the quantum null energy condition. From the anisotropic system one learns that the near-equilibrium dynamic of entanglement entropy has an accurate description in terms of quasinormal modes. In the shock wave system I identify characteristic features of entanglement entropy that allow to discriminate between thick and narrow shocks. All my numerical studies confirm the quantum null energy condition, also the shock wave system, which itself can violate the classical null energy condition for sufficiently narrow shocks. My results also show that the quantum null energy condition can saturate in the far-from-equilibrium regime.

研究の動機と目的

• ホログラフィーを用いて、強い結合量子系におけるエンタングルメントエントロピーを計算するための数値的手法の開発および実装。
• 古典的ヌルエネルギー条件が破られる状況を含む非平衡状態において、量子ヌルエネルギー条件（QNEC）の妥当性の検証。
• 衝突するショック波やバイドヤ時空を含む、異方的かつ不均一な系におけるエンタングルメントエントロピーのダイナミクスの調査。
• ホログラフィックモデルにおけるエンタングルメントエントロピー、2点関数、エネルギー運動量テンソルの計算を可能にする、オープンソースのコードおよび数値ツールの提供。
• 特に高い異方性を示すショック波衝突において、QNECの飽和を探索する。

提案手法

• 負の宇宙定数を有する5次元アインシュタイン方程式を、アインシュタイン空間の境界条件を満たすように数値的に解き、強い結合量子系の双対幾何をモデル化する。
• メッシュの適応的細分化と反復的収束チェックを伴う有限差分緩和法を用いて、計量の運動方程式を解く。
• Ryu-Takayanagiの公式を用いて、ボリューム内での極値表面の面積を計算し、ホログラフィックエンタングルメントエントロピーを抽出する。
• 変形パラメータに関するエンタングルメントエントロピーの2階微分を数値的に計算するスキームを実装し、QNEC式（S'' + 6/c (S')²）/(2π) の評価を可能にする。
• 準正規モード解析を用いて、異方的系における数値結果と、平衡に近い状態での解析的予測を比較する。
• 3つの異なるシナリオに本手法を適用：均一な等方的クエンチ（Vaidya）、異方的ブラックブレーン、および衝突する重力的ショック波。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ヌルエネルギー条件が破られる状況を含む、非平衡ホログラフィック系において、QNECを数値的に検証できるか？
• RQ2 異方的非平衡量子状態におけるエンタングルメントエントロピーのダイナミクスはどのように進展するか？また、平衡に近い状態では準正規モードによって記述可能か？
• RQ3 AdS時空における重力的ショック波のうち、厚みのあるものと薄いものの区別に特徴的なエンタングルメントエントロピーの特徴は何か？
• RQ4 QNECが飽和する領域はどこか？これは、強い結合系における量子エネルギー条件の構造に何を示唆するか？
• RQ5 数値ホログラフィーを、時間に依存する幾何における非局所的観測量（エンタングルメントエントロピー、2点関数など）を体系的に計算するためにどのように応用できるか？

主な発見

• QNECは、すべての検討されたシナリオで数値的に確認された。特に、古典的ヌルエネルギー条件が破られるほどに狭いショック波の衝突においても同様に成立した。
• 異方的系では、平衡に近い状態におけるエンタングルメントエントロピーのダイナミクスが、準正規モードによって正確に記述され、この領域における線形化された流体力学の適用が正当化された。
• ショック波系のエンタングルメントエントロピーには、特定の特徴（変形パラメータに関するエントロピー分布の曲率）が現れ、厚いショック波と薄いショック波を区別する手がかりとなった。
• ショック波衝突の例では、QNECが非平衡状態においても飽和することが観測され、極端な非平衡状態においてもQNECの境界がきつくなることが示唆された。
• 数値フレームワークは、完全に非線形かつ時間に依存する幾何において、ホログラフィックエネルギー運動量テンソル、エンタングルメントエントロピー、2点関数を正常に計算できた。
• 本研究では、エンタングルメントエントロピーとQNECを計算するための公開コードを提供しており、再現性の確保および他のホログラフィックモデルへの応用を可能にした。