[論文レビュー] Entanglement entropy from SU(2) Chern-Simons theory and symmetric webs

Sungbong Chun, Ning Bao|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Quantum many-body systems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、SU(2) Chern-Simons理論におけるカラーリンク不変量を計算するための体系的な手法を、対称ウェブを用いて開発する。これにより、多粒子もつれリンクリンク状態の構築と、それらのもつれエントロピーの計算が可能になる。主な貢献は、すべての彩色においてリンクリンク状態の因子分解が可能であることに基づく、位相的になされたリンクの分離（アンリンク）との関係を示す予想である。

ABSTRACT

A path integral on a link complement of a three-sphere fixes a vector (the "link state") in Chern-Simons theory. The link state can be written in a certain basis with the colored link invariants as its coefficients. We use symmetric webs to systematically compute the colored link invariants, by which we can write down the multi-partite entangled state of any given link. It is still unknown if a product state necessarily implies that the corresponding components are unlinked, and we leave it as a conjecture.

研究の動機と目的

• 任意のリンクに対して、トーラスリンクやねじりリンクに限らないSU(2) Chern-Simons理論におけるカラーリンク不変量を体系的に計算すること。
• これらの不変量から多粒子もつれリンクリンク状態を構築し、位相的量子場理論におけるもつれエントロピーの研究を可能にすること。
• もつれ構造に基づくアンリンクの位相的基準を確立すること：すべての彩色においてリンクリンク状態が因子分解可能ならば、その成分は位相的にアンリンクである。
• 従来のS/T行列やHabiroの公式に依存する手法を一般化する、対称ウェブを用いた計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• SU(2)表現のための図式的計算としての対称ウェブを用い、ウィルソン線の接合を介してカラーリンク不変量を計算する。
• 対称ウェブのバターン関係、結合則、および正方形スイッチ関係を適用し、異なる彩色のウィルソン線間の交差を解消する。
• 彩色レベル（例：mおよびn彩色の線）における帰納法を用いて、交差解消の公式を再帰的に導出する。
• 最小彩色（例：m=1, n=1）における交差の平面的解消から得られる基本ケースを用いて、一般解を構築する。
• 整数表現でラベルされた基底状態の重ね合わせとして、完全なリンクリンク状態を構成し、係数はカラーリンク不変量で与える。
• 関連するWZW模型のモジュラーS行列およびT行列構造を用いて、境界トーラス上のヒルベルト空間を解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称ウェブを用いて、SU(2) Chern-Simons理論における任意のリンクのカラーリンク不変量を体系的に計算できるか？
• RQ2 すべての彩色においてリンクリンク状態が因子分解可能であるならば、それに対応するリンク成分はアンリンクであると結論づけられるか？
• RQ3 リンクリンク状態のもつれエントロピーは、Chern-Simons理論におけるその位相的構造とどのように関係するか？
• RQ4 対称ウェブの関係は、トーラスリンクやねじりリンクといった特殊クラスを超えて、リンクリンク不変量の計算をどのように一般化するか？
• RQ5 リンクリンク状態のもつれデータを用いて、アンリンク化や可約性などの位相的不変量を推定できるか？

主な発見

• 本稿では、レベルkにおける3成分の三重ホップリンク状態を、16個の基底状態の重ね合わせとしてSU(2) Chern-Simons理論で明示的に計算した。係数には量子整数およびq-変形数が含まれる。
• 状態は、複数のスーパoselectionセクターにわたる非自明なもつれを示しており、例として[3](|2000⟩ + |0200⟩ + |0020⟩ + |0002⟩)のような項が存在する。
• 本手法により、対称ウェブを用いてカラーリンク不変量を計算することで、任意のリンクのもつれエントロピーを計算可能になる。
• 予想が提示された：もしリンクのカラーデッジ多項式が、すべての彩色において多項式の積に因子分解可能ならば、そのリンクは位相的に2つの部分リンクに分離可能である。
• 対称ウェブフレームワークにより、m-およびn-彩色ウィルソン線間の交差が、基本ケースとウェブ関係の再帰的適用によって解消可能である。
• 三重ホップリンクの完全なリンクリンク状態には、(q^{3/2} + q^{-3/2})^2[3]^2(q−1+q^{-1})|2121⟩のような高次元のq-変形項が含まれており、複雑なもつれ構造が示されている。