[論文レビュー] Entanglement entropy in the Hamming networks

M. A. Jafarizadeh, S. Nami+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

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ひとこと要約

この論文は、ノードを量子調和振動子としてモデル化し、階層的基底における一般化されたシュール補法を用いて、ハミングネットワーク内のエンタングルメント・エントロピーを調査する。特殊な分割についてシュミット数とエンタングルメント・エントロピーを解析的に導出し、H(2,3)およびH(2,4)における最小/最大エンタングルメント・エントロピーを数値的に計算することで、エンタングルメントと分割間エッジ数の相関関係を明らかにする。

ABSTRACT

We investigate the Hamming networks that their nodes are considered as quantum harmonic oscillators. The entanglement of the ground state can be used to quantify the amount of information each part of a network shares with the rest of the system via quantum fluctuations. Therefore, the Schmidt numbers and entanglement entropy between two special parts of Hamming network, can be calculated. To this aim, first we use the stratification method to rewrite the adjacency matrix of the network in the stratification basis. Then the entanglement entropy and Schmidt number for special partitions are calculated analytically by using the generalized Schur complement method. Also, we calculate the entanglement entropy between two arbitrary subsets (two equal subsets have the same number of vertices) in H(2; 3) and H(2; 4) numerically, and we give the minimum and maximum values of entanglement entropy in these two Hamming network.

研究の動機と目的

• ハミングネットワークにおけるグランド状態のエンタングルメント・エントロピーを用いて、量子エンタングルメントを定量化すること。
• ハミングネットワークの特定の分割間におけるシュミット数およびエンタングルメント・エントロピーを計算する解析的手法を開発すること。
• H(2,3)およびH(2,4)における任意の等サイズの部分集合間のエンタングルメント・エントロピーを数値的に評価し、極値を同定すること。
• エンタングルメント・エントロピーと分割部分集合間のエッジ数の間の関係を確立すること。

提案手法

• ラプラシアンと結合定数を用いて定義されるハミルトニアンを持つ、ハミングネットワークのノードを量子調和振動子としてモデル化する。
• 関連スキームおよびタービリッジャー代数の形式的記法を用いて、隣接行列を階層的基底に書き直す。
• ポテンシャル行列 (I + 2gL) に一般化されたシュール補法を適用し、縮約密度行列とエンタングルメント・エントロピーを計算する。
• シュミット分解を用いて基底状態を表現し、縮約密度行列のバイナリー・エントロピーとしてエンタングルメント・エントロピーを計算する。
• H(2,3)およびH(2,4)におけるすべての等サイズの部分集合ペアについてエンタングルメント・エントロピーを数値的に計算し、最小値および最大値を特定する。
• 離散フーリエ変換および隣接行列の置換不変性を用いて、各スラブの正規化された基底状態を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミングネットワークにおける特殊な分割間のエンタングルメント・エントロピーをどのように解析的に計算できるか？
• RQ2 ハミングネットワークにおいて、分割間のエッジ数とエンタングルメント・エントロピーの関係は何か？
• RQ3 H(2,3)およびH(2,4)における等サイズの部分集合分割におけるエンタングルメント・エントロピーの最小値および最大値は何か？
• RQ4 一般化されたシュール補法は、構造的量子ネットワークにおけるシュミット数およびエンタングルメント・エントロピーを効果的に計算するために適用可能か？

主な発見

• 一般化されたシュール補法により、ハミングネットワークの特定の分割におけるエンタングルメント・エントロピーとシュミット数の解析的計算が可能になる。
• H(2,3)では、等サイズの部分集合ペア間のエンタングルメント・エントロピーの最小値は1.000、最大値は1.585である。
• H(2,4)では、エンタングルメント・エントロピーの最小値は1.000、最大値は2.322である。
• 最大および最小エンタングルメント・エントロピーの値は、分割の二つの部分集合を接続するエッジ数と強く相関している。
• 各スラブの正規化された基底状態は、離散フーリエ変換および置換対称性を用いて導出され、効率的な行列ブロック分解を可能にする。
• シュミットランクおよびエンタングルメント・エントロピーは、特に分割間の接続性に依存して敏感に変化することが判明した。