[論文レビュー] Entanglement entropy of multipartite pure state

Sergey Bravyi|arXiv (Cornell University)|May 6, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、多粒子純粋量子状態における全粒子に同時かつ完全なフォン・ノイマン測定を実行した際の測定結果の結合確率分布の最小エントロピーを調査する。2量子ビット系では、この最小エントロピーがエンタングルメントエントロピーに等しくなることが示され、ヘキサコード状態（S[H] = 4 log 2）とデターミナント状態（S[Detₙ] = log(n!)）の明示的な値が計算される。また、固定された n と d に対して理論的上限 n log d に近づく状態の構築も行われる。

ABSTRACT

Consider a system consisting of n d-dimensional quantum particles and arbitrary pure state $|\\Psi\ a$ of the whole system. Suppose we simultaneously perform complete von Neumann measurements on each of n particles. One can ask: what is the minimal possible value $S[\\Psi]$ of the entropy of outcomes joint probability distribution? We show that $S[\\Psi]$ coincides with entanglement entropy $E[\\Psi]$ for n=2. We compute $S[\\Psi]$ for two sample multipartite states~: the hexacode state $|{\ m H}\ a$, n=6, d=2, $S[H]=4\\log 2$ and determinant state $|{\ m Det}_n\ a$, d=n, $S[{\ m Det}_n]=\\log(n!)$. For fixed n and d the states with $S[\\Psi]$ close to upper bound $n\\log d$ are constructed.

研究の動機と目的

• 多粒子純粋状態 |Ψ⟩ における全粒子に同時かつ完全なフォン・ノイマン測定を実行した際の結合確率分布の最小エントロピー S[Ψ] を特定すること。
• n粒子系におけるこの最小測定エントロピー S[Ψ] と標準的エンタングルメントエントロピー E[Ψ] の関係を調査すること。
• ヘキサコード状態（n=6, d=2）やデターミナント状態（d=n）といった特定のエンタングル状態における S[Ψ] を計算すること。
• 固定された n と d に対して、S[Ψ] が理論的上限 n log d に限りなく近づくような多粒子純粋状態を構築すること。

提案手法

• S[Ψ] を、系内の n 個の粒子すべてに同時に実行可能なすべての完全なフォン・ノイマン測定における最小エントロピーとして定義する。
• 量子情報理論の道具を用いて S[Ψ] をエンタングルメントエントロピー E[Ψ] と関連づけ、特に n=2 の場合に両者の等価性を証明する。
• n=6, d=2 のヘキサコード状態 |H⟩ を対象とし、符号の対称性および既知の性質を用いて S[H] = 4 log 2 を計算する。
• d=n のデターミナント状態 |Detₙ⟩ を対象とし、行列式の性質および測定結果の性質を用いて S[Detₙ] = log(n!) を計算する。
• 構造的エンタングルメントを用いて、固定された n と d に対して S[Ψ] が理論的上限 n log d に限りなく近づく状態の族を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋状態 |Ψ⟩ における全 n 個の粒子に同時に完全なフォン・ノイマン測定を実行した際の結合確率分布の最小エントロピー S[Ψ] は何か？
• RQ2 特に n=2 の場合に、n粒子系における S[Ψ] と標準的エンタングルメントエントロピー E[Ψ] の関係は何か？
• RQ3 n=6 かつ d=2 のヘキサコード状態 |H⟩ における S[Ψ] の値は何か？
• RQ4 d=n のデターミナント状態 |Detₙ⟩ における S[Ψ] の値は何か？
• RQ5 固定された n と d に対して、S[Ψ] が理論的上限 n log d に近づくような多粒子純粋状態を構築できるか？

主な発見

• n=2 の場合、最小測定結果エントロピー S[Ψ] は正確にエンタングルメントエントロピー E[Ψ] に等しい。
• n=6 かつ d=2 のヘキサコード状態 |H⟩ において、最小測定結果エントロピーは S[H] = 4 log 2 である。
• d=n のデターミナント状態 |Detₙ⟩ において、最小測定結果エントロピーは S[Detₙ] = log(n!) である。
• 本論文では、固定された n と d に対して S[Ψ] が理論的上限 n log d に近づくような多粒子純粋状態の構築が行われている。
• これらの構築により、高次元系における構造的エンタングルメントを用いることで、上限 n log d が漸近的に達成可能であることが示された。