[論文レビュー] Entanglement entropy of SU(3) Yang-Mills theory

Yoshiyuki Nakagawa, Atsushi Nakamura+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2009

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

本研究では、クエンチド格子ゲージ理論シミュレーションを用いて、SU(3)ヤン・ミルズ理論における量子もつれエントロピーを計算し、小スケール $l$ において conformal field theory と整合する $1/l^2$ スケーリングを発見した。エントロピーの微分は $l^* \approx 0.6\sim0.7$ fm で消えることから、$1/l^*$ のオーダーの質量ギャップがあると示唆され、不連続な変化は観察されなかったため、一次相転移ではなく滑らかなコラプスに近い挙動であることが支持された。

ABSTRACT

We calculate the entanglement entropy using a SU(3) quenched lattice gauge simulation. We find that the entanglement entropy scales as $1/l^2$ at small $l$ as in the conformal field theory. Here $l$ is the size of the system, whose degrees of freedom is left after the other part are traced out. The derivative of the entanglement entropy with respect to $l$ hits zero at about $l^{\ast} = 0.6 \sim 0.7$ [fm] and vanishes above the length. It may imply that the Yang-Mills theory has the mass gap of the order of $1/l^{\ast}$. Within our statistical errors, no discontinuous change can be seen in the entanglement entropy. We discuss also a subtle point appearing in gauge systems when we divide a system with cuts.

研究の動機と目的

• QCD真空におけるもつれエントロピー構造を格子ゲージ理論を用いて調査すること。
• もつれスケーリングの挙動を通じて、純粋ヤン・ミルズ理論に質量ギャップが存在するかを調べること。
• 特に臨界長スケール $l^*$ 近辺におけるもつれエントロピーの振る舞いを含め、ホログラフィー双対性の予測を検証すること。
• もつれエントロピーに不連続な変化が見られるかどうかを検討し、相転移の有無を調べること。
• リーマン面に切断を加えたゲージ理論におけるもつれエントロピーの定義に伴う技術的課題を解決すること。

提案手法

• もつれエントロピーは、空間的分割の1領域における自由度をトレースアウトして得られる縮約密度行列のフォン・ノイマンエントロピーとして計算される。
• 周期的境界条件を用いた $8^3 \times 4$ の空間的格子上で、リーマン面構造を模倣するための2つのカットを導入した格子モンテカルロシミュレーションが実施された。
• 脱コンfinement相における圧力計算に用いられた数値的手法を応用することで、直接的な固有値分解を経ずにもつれエントロピーを評価可能となった。
• 臨界的挙動を検出および $l^*$ の特定のため、微分 $\partial S_A / \partial l$ が計算された。
• エントロピー的 $C$-関数 $C(l) = \frac{l^3}{|\partial A|} \frac{\partial S_A}{\partial l}$ が解析され、$O(N_c^2)$ と $O(1)$ の自由度の間の遷移を調査した。
• ゲージ不変性は、両方のリーマンシートを跨ぐプラケットを用いることで保たれ、シート間での一貫性のないリンク更新を回避した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(3)ヤン・ミルズ理論におけるもつれエントロピーは、小スケール $l$ において、4次元時空の conformal field theory と同様に $1/l^2$ に比例するか？
• RQ2 $\partial S_A / \partial l$ が消える長さスケール $l^*$ は何か？ そしてこれは質量ギャップに何を示唆するか？
• RQ3 もつれエントロピーまたはその微分に不連続な変化が見られるか？ これは一次相転移を示唆するか？
• RQ4 臨界長 $l^*$ は、脱コンfinement転移の逆臨界温度 $1/T_c$ と同一視できるか？
• RQ5 ゲージ不変性とリーマン面構造は、格子ゲージ理論におけるもつれエントロピーの定義と計算にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 小スケール $l$ においてもつれエントロピーは $1/l^2$ に比例し、4次元時空における conformal field theory の挙動と整合的である。
• $\partial S_A / \partial l$ は $l^* \approx 0.6\sim0.7$ fm でゼロに達し、$1/l^*$ のオーダーの特徴的なエネルギースケールがあると示唆される。
• もつれエントロピーまたはその微分に不連続な変化は観察されず、一次相転移ではなく滑らかなコラプスに近い挙動であることが示唆された。
• 臨界長 $l^*$ は、逆臨界温度 $1/T_c \approx 0.714$ fm と整合的であり、$l^* \sim 1/T_c$ の同定が支持された。
• エントロピー的 $C$-関数は $l^* \approx 0.6$ fm よりも小さいスケールで非ゼロ値を示すが、統計的誤差のため、より大きな $l$ における臨界点の正確な特定は不可能であった。
• リーマン面とゲージ不変性の適切な取り扱いが不可欠である。両シートを跨ぐプラケットを用いることで、モンテカルロ更新中にゲージ不変性が保たれた。