[論文レビュー] Entanglement Entropy of Systems with Spontaneously Broken Continuous Symmetry

Max A. Metlitski, Tarun Grover|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Quantum many-body systems被引用数 74

ひとこと要約

この論文は、連続対称性が自発的に破れた量子系のエンタングルメントエントロピーを導出し、$\frac{N_G(d-1)}{2}\log L$ に比例する普遍的な対数補正項が存在することを示している。ここで $N_G$ はゴルドストーンモードの数、$d$ は空間次元である。この補正項は、ゴルドストーンモードと有限体積における対称性の回復の相互作用に起因し、滑らかな部分系境界に対しても成立する。場理論的およびリプリカトリックな計算により、リーマン面上で確認されている。

ABSTRACT

We study entanglement properties of systems with spontaneously broken continuous symmetry. We find that in addition to the expected area law behavior, the entanglement entropy contains a subleading contribution which diverges logarithmically with the subsystem size in agreement with the Monte Carlo simulations of A. Kallin et. al. (Phys. Rev. B 84, 165134 (2011)). The coefficient of the logarithm is a universal number given simply by $N_G (d-1)/2$, where $N_G$ is the number of Goldstone modes and $d$ is the spatial dimension. This term is present even when the subsystem boundary is straight and contains no corners, and its origin lies in the interplay of Goldstone modes and restoration of symmetry in a finite volume. We also compute the "low-energy" part of the entanglement spectrum and show that it has the same characteristic "tower of states" form as the physical low-energy spectrum obtained when a system with spontaneously broken continuous symmetry is placed in a finite volume.

研究の動機と目的

• スピンが自発的に破れた連続対称性をもつ量子系におけるエンタングルメントエントロピーの構造を理解し、特に面積則を超える補正項を解明すること。
• スケール不変系において滑らかな境界を持つにもかかわらず、モンテカルロシミュレーションで観測される対数補正と、それらが消失すると予想されるという見かけの矛盾を解消すること。
• エンタングルメントエントロピーにおける対数項の起源が、ゴルドストーンモードと有限体積における対称性の回復の相互作用に起因することを特定すること。
• 低エネルギー部分のエンタングルメントスペクトルを計算し、有限体積における物理的低エネルギースペクトルと類似した「スターリングの塔」構造を示すこと。

提案手法

• リーマン面を用いた $n$ 枚のシートを持つリプリカトリックなアプローチを用い、リーマンのエンタングルメントエントロピーを計算する。問題は分岐被覆空間上の場の理論に写像される。
• 低エネルギー有効理論を $N_G$ 個の質量ゼロのスカラー場（ゴルドストーンモード）としてモデル化し、スピン剛性 $\rho_s$ を用いて非線形スイーパー・モデルの作用を用いる。
• 巻き戻し数 $r_k$ によって決定される、分岐カットを越えて場にねじれ境界条件を課す。
• フラクチュエーション $\delta\phi$ の経路積分を実行し、分配関数 $Z_n^{h=0}$ を計算する。背景場 $\phi_r$ と量子フラクチュエーションの寄与を分離する。
• 巻き戻し数が非ゼロの場合の作用 $S[\phi_r]$ を、境界条件 $\phi_k(\tau) = \phi_{k+1}(\tau - \beta) + 2\pi r_k$ を満たすラプラス方程式の解を用いて評価し、$r_k$ に関して二次形式を得る。
• 巻き戻し数のセクターを合算するためのヤコビのシータ関数 $\nu(q) = \sum_r q^{r^2}$ を用い、低温極限におけるエンタングルメントエントロピーの対数依存性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ヘイゼンベルグ模型において、部分系境界が角や特異点を持たないにもかかわらず、なぜモンテカルロシミュレーションでエンタングルメントエントロピーに対数補正が観測されるのか？
• RQ2 連続対称性が自発的に破れた系におけるエンタングルメントエントロピーの補正項としての対数項の起源は何か？
• RQ3 エンタングルメントスペクトルは、有限体積における物理的低エネルギースペクトルの低エネルギー構造をどのように反映しているか？
• RQ4 部分系境界が滑らかで角がない場合でも、なぜ対数補正が持続するのか？

主な発見

• エンタングルメントエントロピーには、$N_G$ がゴルドストーンモードの数、$d$ が空間次元であるとき、$\frac{N_G(d-1)}{2}\log L$ に比例する普遍的な対数補正項が存在する。これは滑らかな境界に対しても成立する。
• この対数補正項は、ゴルドストーンモードと有限体積における対称性の回復の相互作用に起因し、幾何的特異性とは無関係である。
• エンタングルメントスペクトルの低エネルギー部分には、有限体積における物理的低エネルギースペクトルと同一の「スターリングの塔」構造が現れる。
• リプリカトリックなアプローチにおける巻き戻し数の和が、低温極限におけるエンタングルメントエントロピーの対数依存性を生じさせ、その係数はゴルドストーンモードの数と次元数に依存する。
• 対数項の係数は普遍的であり、短距離切断に依存せず、数値シミュレーションとの整合性を確認している。
• 巻き戻し数の和を正しく含めない限り、$T \to 0$ の極限においても補正項が残らないことが示され、これにより、従来の場の理論的導出における見かけの矛盾が解消された。