[論文レビュー] Entanglement Entropy of U(1) Quantum Spin Liquids

Michael Pretko, T. Senthil|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Oct 13, 2015

Quantum many-body systems被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ギャップレスな光子とギャップを持つ物質を伴う脱Confined U(1)ゲージ理論で記述されるギャップレスな状態である(3+1)次元U(1)量子スピン液体のエンタングルメントエントロピーを調査する。ビスオナノ＝ウィヒャルムの定理と局所的熱的近似を用いて、エンタングルメントエントロピーに現れる2つの普遍的で補助的な寄与を特定する。1つはギャップレス光子に起因する対数項（低エネルギーの conformal field theory に由来）であり、もう1つは電場フラックスの制約に起因する別個の対数項であり、これはギャップレス系へのトポロジカルエンタングルメントエントロピーの一般化である。

ABSTRACT

We here investigate the entanglement structure of the ground state of a (3+1)-dimensional U(1) quantum spin liquid, which is described by the deconfined phase of a compact U(1) gauge theory. A gapless photon is the only low-energy excitation, with matter existing as deconfined but gapped excitations of the system. It is found that, for a given bipartition of the system, the elements of the entanglement spectrum can be grouped according to the electric flux between the two regions, leading to a useful interpretation of the entanglement spectrum in terms of electric charges living on the boundary. The entanglement spectrum is also given additional structure due to the presence of the gapless photon. Making use of the Bisognano-Wichmann theorem and a local thermal approximation, these two contributions to the entanglement (particle and photon) are recast in terms of boundary and bulk contributions, respectively. Both pieces of the entanglement structure give rise to universal subleading terms (relative to the area law) in the entanglement entropy, which are logarithmic in the system size (log L), as opposed to the subleading constant term in gapped topologically ordered systems. The photon subleading logarithm arises from the low-energy conformal field theory and is essentially local in character. The particle subleading logarithm arises due to the constraint of closed electric loops in the wavefunction and is shown to be the natural generalization of topological entanglement entropy to the U(1) spin liquid. This contribution to the entanglement entropy can be isolated by means of the Grover-Turner-Vishwanath construction (which generalizes the Kitaev-Preskill scheme to three dimensions).

研究の動機と目的

• 3+1次元において物理的に安定であるが、完全な理論的枠組みを欠いているギャップレスU(1)量子スピン液体のエンタングルメント構造を理解すること。
• ギャップレススピン液体において、トポロジカルエンタングルメントエントロピーに類似した普遍的な長距離エンタングルメントの兆候が存在するかどうかを特定すること。
• 面積則を超えたエンタングルメントエントロピーへのギャップレス光子と制約された電場フラックスの寄与を分離し、特徴づけること。
• グローバー＝ターナー＝ビシュワナート構成を用いて3次元へのキタエフ＝プレスキルスキームの一般化を試み、トポロジカルな対数項を抽出すること。

提案手法

• 系を二分割し、境界を貫る電場フラックスごとに状態をグループ化することで、エンタングルメントスペクトルを解析し、それらを境界上の電荷と解釈する。
• ギャップレス光子のエンタングルメントを、境界上で熱的状態としてモデル化するためにビスオナノ＝ウィヒャルムの定理を適用し、普遍的な対数的寄与を導出する。
• 局所的熱的近似を用いて、バルク（光子）と境界（粒子）のエンタングルメントエントロピーへの寄与を分離する。
• グローバー＝ターナー＝ビシュワナート構成を用いて、粒子系からトポロジカルな対数項を分離し、キタエフ＝プレスキルスキームを3次元に一般化する。
• 波動関数分布に対するフーリエ積分法を用いて補助的対数項を計算し、U(1)の場合の発散を避けるために正則化を行う。
• フラックス分布のフーリエ変換が二次形式でない（例：η > 2）ような微調整された波動関数を検討し、対数的スケーリングが変更されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャップレスU(1)量子スピン液体は、ギャップのあるトポロジカルに秩序された系における定数項に類似した、普遍的な補助的対数的補正をエンタングルメントエントロピーに示すか？
• RQ2 波動関数内のギャップレス光子と制約された電場フラックスの寄与が、エンタングルメントエントロピーにどのように別々に影響を与えるか？
• RQ3 トポロジカルエンタングルメントエントロピーの概念をギャップレス系に一般化できるか？その場合、ギャップのある場合とどのように異なるか？
• RQ4 特に電場のコストがゼロに近づく極限において、有限なエンタングルメントエントロピーを抽出するための正則化の役割は何か？
• RQ5 離散的Z_nゲージ理論とU(1)ゲージ理論の間には、エンタングルメントエントロピーのスケーリングにおいて、特にnが大きい極限で顕著な差があるか？

主な発見

• 3+1次元U(1)量子スピン液体のエンタングルメントエントロピーは、系のサイズLに対して普遍的な対数的補助項−(d−1)/2 log Lを示す。これはギャップレス光子の conformal field theory 的挙動に起因する。
• 電場フラックス線が閉じなければならないという制約に起因する第二の普遍的対数的寄与−(d−1)/2 log Lが存在し、これはギャップレス系へのトポロジカルエンタングルメントエントロピーの一般化である。
• 光子寄与は局所的性質を示し、低エネルギーCFTに起因するが、粒子寄与は非局所的であり、閉じた電場ループのトポロジーに結びついている。
• 電場フラックス制約に起因する補助的対数項は、グローバー＝ターナー＝ビシュワナート構成を用いて分離され、キタエフ＝プレスキルスキームが3次元に一般化された。
• U(1)の場合、電場のコストをゼロにチューニングするとエンタングルメントエントロピーは発散するが、正則化が必要である。これは離散的Z_nゲージ理論とは異なり、トポロジカルエントロピーが有限のまま保たれる点と対照的である。
• 非二次的フーリエ変換挙動（例：η > 2）を示す微調整された波動関数では、対数的スケーリングが−(d−1)/η log Lに変化し、指数ηを調整することで普遍的な対数的補正を変更できることを示している。