[論文レビュー] Entanglement in non-unitary quantum critical spin chains

Romain Couvreur, Jesper Lykke Jacobsen+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Nov 25, 2016

Quantum many-body systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、量子群またはスーパー群対称性をもつ非ユニタリな量子臨界スピン鎖におけるRényiエントロピーを定義する幾何的・代数的枠組みを提案する。ループ模型に根ざした左・右固有状態およびトレース定義を用い、有効中心電荷を含むエンタングルメントエントロピーのスケーリング則を確立する。これは、有理的最小模型における標準的中心電荷とは異なり、非ユニタリな状況（例えば、確率的現象のための$sl(2|1)$スピン鎖）でも一貫性を保つ。

ABSTRACT

Entanglement entropy has proven invaluable to our understanding of quantum criticality. It is natural to try to extend the concept to non-unitary quantum mechanics, which has seen growing interest from areas as diverse as open quantum systems, non-interacting electronic disordered systems, or non-unitary conformal field theory (CFT). We propose and investigate such an extension here, by focussing on the case of one-dimensional quantum group symmetric or supergroup symmetric spin chains. We show that the consideration of left and right eigenstates combined with appropriate definitions of the trace leads to a natural definition of Rényi entropies in a large variety of models. We interpret this definition geometrically in terms of related loop models and calculate the corresponding scaling in the conformal case. This allows us to distinguish the role of the central charge and effective central charge in rational minimal models of CFT, and to define an effective central charge in other, less well understood cases. The example of the $sl(2|1)$ alternating spin chain for percolation is discussed in detail.

研究の動機と目的

• ユニタリな量子力学を超えて、非ユニタリ系、特に非エルミートハミルトニアンをもつ臨界スピン鎖へのエンタングルメントエントロピーの概念を拡張すること。
• 左・右基底状態が異なる場合や、オペレーター内容が境界条件に依存する場合に生じる密度行列およびエントロピーの定義に関する曖昧さを解消すること。
• ループ模型およびコーブルガス表現を用いて、非ユニタリな conformal field theory におけるRényiエントロピーの幾何的・代数的定義を提供すること。
• 有理的最小模型における中心電荷$c$と有効中心電荷$c_{\rm eff}$の役割の違いを明らかにし、より理解が難しい状況においても$c_{\rm eff}$を定義すること。
• 物理的に重要なモデル、例えば確率的現象のための$sl(2|1)$交互スピン鎖およびIQHEプラトー遷移のための$gl(2|2)$鎖への応用を示すこと。

提案手法

• 非エルミートハミルトニアンの左・右固有状態を用い、非ユニタリな状況でも一貫性を保つように修正されたトレース操作を組み合わせてRényiエントロピーを定義する。
• スピン鎖をTemperley-Lieb代数およびRSOS格子模型を通じてループ模型に写像し、エンタングルメントエントロピーのスケーリングに幾何的解釈を可能にする。
• コーブルガス表現および頂点演算子の挿入を用いて、$N$-レプリカ模型の分配関数を計算し、位相的および境界寄与を捉える。
• 分配関数比$Z_N / Z_1^N$における主要対数項および準対数項の解析により、 conformal limit におけるRényiエントロピーのスケーリングを導出する。
• コンパクト（有理的最小模型）および非コンパクト（Liouville理論）CFTにこの形式を適用し、$m \to \infty$極限により$c=1$ Liouville理論を回復する。
• 境界条件をAffleck-Ludwig境界エントロピーを用いて扱い、Rényiエントロピーにおける$O(1)$項が$\ln g_{\rm boundary}$と一致することを示し、枠組みの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ユニタリな量子臨界スピン鎖において、ハミルトニアンが非エルミート的で左・右基底状態が異なる場合に、エンタングルメントエントロピーを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 非ユニタリな conformal field theory において、エンタングルメントエントロピーの$c/3 \ln L$スケーリング則の正しい一般化は何か？
• RQ3 有理的最小模型における標準的中心電荷$c$と有効中心電荷$c_{\rm eff}$は、Rényiエントロピーのスケーリングにおいてどのように役割を分けるか？
• RQ4 ループ模型および量子群対称性に基づく幾何的・代数的枠組みは、非ユニタリ系におけるエンタングルメントエントロピーの一貫性のある定義を提供できるか？
• RQ5 非コンパクトCFT、例えば$c=1$ Liouville理論におけるエンタングルメントエントロピーのスケーリングは何か？また、コンパクト模型とはどのように異なるか？

主な発見

• 非ユニタリな臨界スピン鎖におけるRényiエントロピーは、$c=1$ Liouville理論において$S^{(N)} = \frac{N+1}{6N} \ln L - \frac{1}{2} \ln(\ln L)$とスケーリングする。準対数項$\ln(\ln L)$は非コンパクト自由度に起因する。
• 有理的最小模型では、エンタングルメントエントロピーは$S_A \approx \frac{c_{\rm eff}}{3} \ln(L/a)$とスケーリングする。ここで$c_{\rm eff}$は有効中心電荷であり、従来の結果と整合的であり、今や幾何的ループ模型枠組みから導出可能である。
• Rényiエントロピーにおける$O(1)$定数項は境界 degeneracy 要因$g_{\rm boundary}$の対数と一致し、ループ模型構築におけるAffleck-Ludwig境界エントロピーと整合的であることが確認された。
• この枠組みは、分配関数$Z=1$となる場合（例えば、特定の超対称モデル）でも、非自明なエンタングルメントエントロピーを定義できることを示した。
• この手法により、$c$と$c_{\rm eff}$の役割の違いが明確に分離された：修正トレース定義を用いる場合、$c$は主要項に現れるが、$c_{\rm eff}$は最小模型における標準的スケーリングを支配する。
• $sl(2|1)$交互スピン鎖（確率的現象）は詳細に取り上げられ、形式的体系が一貫性があり物理的に意味のあるエンタングルメントエントロピーのスケーリングをもたらすことが示された。