[論文レビュー] Entanglement in the Grover's Search Algorithm

Shantanav Chakraborty, Subhashish Banerjee+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、幾何的測度を用いて反復ごとのグローバルな量子もつれを定量化することで、グローバー探索アルゴリズムにおけるもつれの役割を調査する。数式的にもつれダイナミクスを、量子ビット数 n とマークされた状態数 M に関して導出しており、M=1 の場合、最適反復回数の半分の時点で最大もつれが達成され、M が増加するにつれてピーク位置が右にシフトし、ピークもつれは n に依存して増加する。また、ピークもつれはマークされた状態の構造にのみ依存する。

ABSTRACT

Quantum Algorithms have long captured the imagination of computer scientists and physicists primarily because of the speed up achieved by them over their classical counterparts using principles of quantum mechanics. Entanglement is believed to be the primary phenomena behind this speed up. However their precise role in quantum algorithms is yet unclear. In this article, we explore the nature of entanglement in the Grover's search algorithm. This algorithm enables searching of elements from an unstructured database quadratically faster than the best known classical algorithm. Geometric measure of entanglement has been used to quantify and analyse entanglement across iterations of the algorithm. We reveal how the entanglement varies with increase in the number of qubits and also with the number of marked or solution states. Numerically, it is seen that the behaviour of the maximum value of entanglement is monotonous with the number of qubits. Also, for a given value of the number of qubits, a change in the marked states alters the amount of entanglement. The amount of entanglement in the final state of the algorithm has been shown to depend solely on the nature of the marked states. Explicit analytical expressions are given showing the variation of entanglement with the number of iterations and the global maximum value of entanglement attained across all iterations of the algorithm.

研究の動機と目的

• 量子アルゴリズムの高速化におけるもつれの正確な役割を理解すること、特にグローバー探索におけるもの。
• 一般の n-量子ビット系と M 個の解状態をもつ場合、グローバーのアルゴリズムにおけるもつれが反復ごとにどのように変化するかを定量化すること。
• もつれが量子ビット数 n と解状態数 M にどのように依存するかを分析すること。
• 幾何的測度とconcurrenceを比較し、複数のマークされた状態に対してもつれを定量化する際の幾何的測度の利点を評価すること。

提案手法

• 量子状態 |ψ⟩ とその最も近い分離状態 |ζ⟩ の間のもつれを測るため、幾何的測度 E(|ψ⟩) = 1 − max|⟨ζ|ψ⟩|² を用いる。
• 状態振幅の時間発展 θr = (r + ½) arcsin(2√(M/N)) に従うように、各反復 r におけるもつれの一般化された解析的表現を導出する。
• n と M を変化させた場合の反復ごとのもつれダイナミクスを数値的に評価し、W状態やGHZ状態などの特殊状態への収束を含む。
• 先行研究におけるconcurrenceに基づくもつれ定量化と比較し、複数のマークされた状態に対してはもつれを検出できない限界を強調する。
• すべての反復において達成されるもつれのグローバル最大値を計算し、n と M に対するその解析的依存関係を導出する。
• W状態などの既知のもつれ状態への収束時のもつれ挙動を調査し、E(|ψr, M=n⟩) の明示的表現を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n 量子ビットと M 個のマークされた状態をもつグローバー探索アルゴリズムにおいて、幾何的測度によるもつれは反復ごとにどのように変化するか？
• RQ2 最大もつれは、量子ビット数 n とマークされた状態数 M にどのように依存するか？
• RQ3 M が増加するにつれてピークもつれの位置はどのようにシフトするのか？また、M > 1 の場合、なぜ中点からずれるのか？
• RQ4 最終状態のもつれは、アルゴリズムのパrameterではなく、マークされた状態の構造にどれほど依存するのか？
• RQ5 グローバーのアルゴリズムにおけるもつれダイナミクスを定量化する際、幾何的測度はconcurrenceと比べてどのように異なるか？

主な発見

• 固定された M に対して、もつれの最大値は量子ビット数 n とともに単調に増加し、一貫したスケーリング傾向を示す。
• M = 1 の場合、最大もつれは約 r = r_opt / 2 で達成され、最適反復回数の周囲で対称的な時間発展を示す。
• M > 1 の場合、最大もつれのピーク位置は中点よりも右にシフトし、M が増加するにつれてそのシフト量も増加し、M が増大するにつれて r_opt に収束する。
• 最終状態のもつれは、マークされた状態の性質にのみ依存する：M=1 の場合は分離状態（もつれなし）、W状態のようなもつれ状態をもつマークされた状態の構成では非ゼロのもつれを示す。
• 反復 r におけるもつれの明示的解析的表現が導出され、アルゴリズム実行中の到達可能なもつれの正確な境界が得られる。
• W状態への収束（M = n、各マークされた状態が1つの1をもつ）におけるもつれダイナミクスが解析的に表現され、数値的にも検証されており、特徴的なピーク挙動を示す。