[論文レビュー] Entanglement in the stabilizer formalism

David Fattal, Toby S. Cubitt+3 more|ArXiv.org|Jun 23, 2004

Quantum Information and Cryptography被引用数 79

ひとこと要約

本稿では、安定化子形式を用いることで、キュービット、クーディット、連続変数のすべてに適用可能な、安定化子状態のための計算効率の良い多粒子もつれ尺度を導入する。主な結果は、二粒子状態のもつれエントロピーが、非局所的安定化子部分群のランクの半分に等しく、安定化子群の生成子を用いてO(n³)時間で計算可能であることである。

ABSTRACT

We define a multi-partite entanglement measure for stabilizer states, which can be computed efficiently from a set of generators of the stabilizer group. Our measure applies to qubits, qudits and continuous variables.

研究の動機と目的

• 多粒子安定化子状態のための計算効率の良いもつれ尺度の開発。これらは量子誤り訂正やフェイルセーフ量子計算の中心的役割を果たす。
• 特に従来のスミット尺度が計算的に困難であるような、多粒子量子系におけるスケーラブルなもつれ評価の欠如に対処する。
• 安定化子生成子の群論的構造を用いて、多粒子安定化子状態へのもつれモノトーンの一般化を行う。
• 安定化子状態、特にガウス状態を含む連続変数系におけるもつれの効率的計算を可能にするフレームワークを提供する。
• もつれの見せかけの構築や、多粒子もつれの構造的理解を支援する形式的枠組みを確立する。

提案手法

• 状態|ψ⟩の安定化子群Sを、|ψ⟩を安定化するパウリ演算子（CVではヘイゼンベルク＝ワイル演算子）の集合として定義する。生成子はO(n²)ビットのコン pact な記述を与える。
• 二部分割{A,B}に対して、Sを局所的部分群S_AおよびS_B（それぞれAまたはBにのみ作用する）と、もつれを捉える非局所的部分群S_ABに分解する。
• もつれエントロピーをE(|ψ⟩) = ½ |S_AB|として計算する。ここで|S_AB|はS_ABの最小生成集合のランクであり、パウリ生成子に対してガウス消去を用いることでO(n³)時間で計算可能である。
• k部分割へ一般化するには、S_loc = ∏_{j=1}^k S_jと定義する。ここでS_jは、部分集合A_jに単位演算子として作用するSの部分群である。
• 多粒子もつれ尺度をe_A(|ψ⟩) = n − |S_loc|として定義する。これは局所的ユニタリ変換に対して不変であり、LOCCに対して単調減少である。
• e_Aがもつれモノトーンであることを証明する。これは、局所的測定や分離可能なアテイリャを追加しても増加しないこと、また、分割の粗化に対して減少（または同一）することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定化子状態に対して、計算効率的かつ物理的に意味のある多粒子もつれ尺度を定義できるか？
• RQ2 完全な状態トモグラフィーを用いずに、安定化子形式を用いて二粒子安定化子状態のもつれエントロピーを計算する方法は何か？
• RQ3 物理的整合性と計算的実行可能性を保ったまま、多粒子安定化子状態へのもつれモノトーンの一般化は可能か？
• RQ4 この形式的枠組みは、クーディットおよび連続変数系に拡張可能か？計算効率は保持されるか？
• RQ5 多粒子系におけるもつれ内容に対応する安定化子群の構造的性質は何か？

主な発見

• 任意の二粒子安定化子状態のもつれエントロピーは、E(|ψ⟩) = ½ |S_AB|に正確に等しく、|S_AB|は非局所的安定化子部分群のランクであり、O(n³)時間で計算可能である。
• ベル（EPR）状態では|S_AB| = 2であり、E = 1となり、既知のはかりのもつれエントロピーと一致する。
• 三キュービットのGHZ状態において{12|3}の分割を考えると、|S_AB| = 2であり、E = 1となり、既知のはかりのもつれ値と整合的である。
• 多粒子もつれ尺度e_A(|ψ⟩) = n − |S_loc|はもつれモノトーンである。これは、局所的量子操作と古典的通信（LOCC）に対して増加しないことを意味する。
• 尺度e_Aは局所的ユニタリ変換に対して不変であり、分割の粗化に対して減少（または同一）する。物理的順序の期待に合致する。
• パウリ群をヘイゼンベルク＝ワイル群に置き換えることで、クーディットおよび連続変数安定化子状態へ一般化可能であり、同じ計算効率を維持する。