[論文レビュー] Entanglement is Necessary for Optimal Quantum Property Testing

Sébastien Bubeck, Sitan Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、最適な量子性質テストにおいてももつれが不可欠であることを示しており、もつれのない（適応的または非適応的）測定では、混合性テストに Ω(d⁴/³/ε²) 個のコピーが必要であることを証明している。これは、もつれのある測定で達成可能な最適な O(d/ε²) 個のコピーと比べて、厳密に多い。この結果により、量子状態認証におけるもつれ測定ともつれのない測定の間で、非線形的（superlinear）な差が生じることを解明した。

ABSTRACT

There has been a surge of progress in recent years in developing algorithms for testing and learning quantum states that achieve optimal copy complexity. Unfortunately, they require the use of entangled measurements across many copies of the underlying state and thus remain outside the realm of what is currently experimentally feasible. A natural question is whether one can match the copy complexity of such algorithms using only independent---but possibly adaptively chosen---measurements on individual copies. We answer this in the negative for arguably the most basic quantum testing problem: deciding whether a given $d$-dimensional quantum state is equal to or $ε$-far in trace distance from the maximally mixed state. While it is known how to achieve optimal $O(d/ε^2)$ copy complexity using entangled measurements, we show that with independent measurements, $Ω(d^{4/3}/ε^2)$ is necessary, even if the measurements are chosen adaptively. This resolves a question of Wright. To obtain this lower bound, we develop several new techniques, including a chain-rule style proof of Paninski's lower bound for classical uniformity testing, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 最適なコピー複製複雑度が、実験的に実現可能なもつれのない測定のみで達成可能かどうかを解明すること。
• 非適応的および適応的測定の両方におけるもつれのない測定の根本的限界を、もつれのある測定と比較して調査すること。
• 混合性テストという基本的な問題に関して、もつれのある測定戦略ともつれのない測定戦略のコピー複雑度の定量的分離を確立すること。
• 新しい解析的手法の開発、特にパナインスキーの古典的均一性テストの下界をチェーン・ルール風の証明で再導出する方法を含み、より広範な応用が期待される。

提案手法

• ランダムユニタリ平均とモーメント生成関数に基づく、新しい情報理論的枠組みを用いて、もつれのない（適応的かもしれない）測定のコピー複雑度の下界を証明する。
• 量子測定演算子の構造を活用して、ランダムユニタリ行列における集中不等式を用いて、古典の二項尾確率の量子アナログを導入する。
• チェーン・ルール風の議論を用いて、均一性テストのパナインスキーの古典的下界を再導出し、独立に有用な新技術を確立する。
• ランダムユニタリにおける測定結果統計の積の期待値を分析し、最大混合状態と ε-離れた状態の識別可能性を制限する。
• 高次元のランダム行列における二次形式のための、ハズン＝ホワイツ不等式の洗練版を適用し、測定統計の尾確率を制御する。
• 尾確率とモーメント推定を組み合わせて、信頼性のある識別に必要なコピー数の下界を導出し、Ω(d⁴/³/ε²) 個のコピーが必要であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子混合性テストにおける最適な O(d/ε²) 個のコピー複雑度が、もつれのない測定のみで達成可能か？
• RQ2 測定がもつれのないものに制限され、かつ適応的かもしれない場合、最小のコピー複雑度は何か？
• RQ3 量子状態認証において、もつれのある測定戦略ともつれのない測定戦略の間で、コピー複雑度に明確な分離が存在するか？
• RQ4 パナインスキーの古典的下界技術が、量子設定に適応可能か。これにより、新たな量子情報理論的結果が得られるか？
• RQ5 適応的もつれのない測定が、もつれのある測定と比較して、量子性質テストにおいて根本的にどのような限界を有するか？

主な発見

• 量子混合性テストにおいて、もつれのない適応的測定では Ω(d⁴/³/ε²) 個のコピーが必要であり、これはもつれのある測定で達成可能な最適な O(d/ε²) 個のコピーと比べて、非線形的増加である。
• この論文は、もつれのある測定ともつれのない測定の間で、明確な分離を確立しており、最適なコピー複雑度を達成するにはもつれが不可欠であることを示している。
• 均一性テストのパナインスキーの古典的下界を再導出する新しい証明技法が開発され、これは古典統計において独立に価値がある可能性がある。
• 分析により、適応的もつれのない測定でも、個々のコピーからの情報抽出の根本的限界により、もつれのある測定の効率性を凌駕できないことが明らかになった。
• 下界はモーメント生成関数の解析と、ランダムユニタリ行列上の集中不等式を用いて導出され、もつれのない測定では、最大混合状態から ε-離れた状態の識別可能性が遅く減衰することを示している。
• この結果により、[Wri16] で提起された未解決の問題が解決され、もつれが技術的便宜ではなく、最適な量子性質テストのための必須資源であることが証明された。