[論文レビュー] Entanglement of Free Fermions and Bosons at Finite Temperature

Joaquín E. Drut, William J. Porter|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Quantum many-body systems参考文献 49被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元、2次元、3次元の空間次元において、有限温度下の非相互作用フェルミ粒子およびボーズ粒子におけるレニー量子もつれエントロピーの正確な、全順序のフェュージャシティ展開結果を提示する。単粒子グリーン関数にヴァイアル展開技術を適用することで、主項および次主項の寄与に対する閉形式の式を得た。高温度極限においては明示的な体積スケーリングが現れ、ボーズ粒子はもつれを増幅するのに対し、フェルミ粒子はもつれを抑制することが、フェュージャシティの2次項で明らかになった。

ABSTRACT

We generalize techniques previously used to compute ground-state properties of one-dimensional noninteracting quantum gases to obtain exact results at finite temperature. We compute the order-n Rényi entanglement entropy to all orders in the fugacity in one, two, and three spatial dimensions. In all spatial dimensions, we provide closed-form expressions for its virial expansion up to next-to-leading order. In all of our results, we find explicit volume scaling in the high-temperature limit.

研究の動機と目的

• 任意の空間次元における有限温度下の非相互作用フェルミ粒子およびボーズ粒子のレニーもつれエントロピーを計算すること。
• 地上状態のもつれ技術を、このような結果が乏しい有限温度領域に拡張すること。
• 多体量子系における量子モンテカルロ法や他の数値的手法の非摂動的ベンチマークを提供すること。
• フェュージャシティの次に主項までのヴァイアル展開を分析し、統計的効果を捉えること。

提案手法

• グランドカノニカル分配関数を用いて、重ね合わせ行列形式に基づく手法を有限温度に一般化する。
• フェュージャシティ $ z = e^{\beta\mu} $ を用いて、運動量空間および座標空間における単粒子グリーン関数を導出する。
• グリーン関数を $ z $ におけるヴァイアル級数に展開し、$ \mathcal{A}_{j,\bm{x}\bm{x}'} $ をガウス関数の形で明示的に得る。
• レプリカ法およびハッバード＝ストラトニッチ変換を用いて、縮約密度行列を含む関数行列式としてレニーエントロピー $ S_n $ を計算する。
• グリーン関数のトレースおよびその累乗の微分を用いて、$ S_n $ のヴァイアル展開を $ z^2 $ まで抽出する。
• 得られた式を用いて、高温・希薄な領域で有効な $ z $ の主項および次主項を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元、2次元、3次元の空間次元において、自由フェルミ粒子およびボーズ粒子のレニーもつれエントロピーは、系のサイズおよび温度に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ2 フェュージャシティ $ z=0 $ の周囲におけるヴァイアル展開において、主項および次主項の寄与は何か。フェルミ粒子とボーズ粒子ではどのように異なるか？
• RQ3 高温極限において、もつれエントロピーに明示的な体積スケーリングが現れるか。もしそうなら、どのように定量的に表現されるか？
• RQ4 量子統計（フェルミ・ディラックとボーズ＝アインシュタイン）は、もつれエントロピーのヴァイアル展開における2次補正にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ヴァイアル展開の収束性は、空間次元に依存してどのように変化するか？

主な発見

• 主項のレニーもつれエントロピーは、フェルミ粒子およびボーズ粒子で同一であり、これは単粒子の寄与にのみ依存し、統計に依存しない。
• 次主項（$ z^2 $）において、フェルミ粒子は主項結果に対してもつれエントロピーを減少させるが、ボーズ粒子は増加させる。これは2粒子相関項の符号および構造による。
• 高温極限において、もつれエントロピーは明示的な体積スケーリングを示し、主項は $ \theta^d $ に比例する。ここで $ \theta $ は次元なしの領域サイズである。
• ヴァイアル展開は高次元でより速く収束し、$ d=3 $ の場合、$ d=1 $ よりも1次および2次近似の一致が良好である。
• 結果はフェュージャシティ展開において正確であり、多体系における量子モンテカルロ法などの数値手法の非摂動的ベンチマークを提供する。