[論文レビュー] Entanglement Spectroscopy and its Application to the Quantum Hall Effects

N. Regnault|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Quantum and electron transport phenomena被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、量子ホール系におけるトポロジカル秩序を診断する強力なツールとして、系を分割した際の縮約密度行列のスペクトルを分析することにより、エンタングルメントスペクトロスコピーを導入する。この手法により、エッジ励起状態やトポロジカルインバリアントが明らかになり、分数量子ホール状態および分数量子ホール系に類似した分数量子ホール系（分数量子ホール系）の深層的洞察が得られ、高い数値的効率性を示す。

ABSTRACT

The entanglement spectroscopy, initially introduced by Li and Haldane in the context of the fractional quantum Hall effects, has stimulated an extensive range of studies. The entanglement spectrum is the spectrum of the reduced density matrix, when we partition the system into two. For many quantum systems, it unveils a unique feature: Computed from the bulk ground state wave function, the entanglement spectrum give access to the physics of edge excitations. Using this property, the entanglement spectroscopy has proved to be a highly valuable tool to diagnose topological ordering. These lectures intend to provide an overview of the entanglement spectroscopy, mainly in the context of the fractional quantum Hall effect. We introduce the basic concepts through the case of the quantum spin chains. We discuss the connection with the entanglement entropy and the matrix product state representation. We show how the entanglement spectrum can be computed for non-interacting topological phases and how it reveals the edge excitation from the ground state. We then present an extensive review of the entanglement spectra applied to the fractional quantum Hall phases, showing how much information is encoded within the ground state and how different partitions probe different type of excitations. Finally, we discuss the application of this tool to study the fractional Chern insulators.

研究の動機と目的

• 量子ホール系におけるトポロジカル秩序の診断ツールとしてエンタングルメントスペクトロスコピーを確立すること。
• エンタングルメントスペクトルがトポロジカル相におけるエッジ励起状態の情報をどのように符号化するかを示すこと。
• この手法を分数量子ホール系および非相互作用トポロジカル系に拡張すること。
• 基底状態波動関数のみからトポロジカル秩序を特定する実用的なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 系を二部に分割して、縮約密度行列 ρA = TrB |Ψ⟩⟨Ψ| を計算する。
• ρA のスペクトルを分析し、エッジ状態励起に対応するエンタングルメント準位を抽出する。
• スピン鎖、整数量子ホール状態、分数量子ホール状態、チェルン絶縁体、分数量子ホール系など、さまざまな系にこの手法を適用する。
• 一次元系におけるエンタングルメントスペクトルを効率的に計算するために、行列積状態（MPS）表現を用いる。
• オービタル、粒子、実空間の分割を用いて、異なる種類の励起状態を調べる。
• 特にギャップなしエッジモードを示す系において、エンタングルメントエントロピーとトポロジカル秩序の関係を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンタングルメントスペクトルは、量子ホール系におけるトポロジカル秩序の存在をどのように反映するか？
• RQ2 局所的秩序パラメータが存在しない場合でも、エンタングルメントスペクトルはエッジ励起状態を明らかにできるか？
• RQ3 エンタングルメントスペクトルは、分数量子ホール状態と分数量子ホール系の間の異なるトポロジカル相をどの程度区別できるか？
• RQ4 分割の方法（オービタル、粒子、実空間）の選択が、エンタングルメントスペクトルから得られる情報にどのように影響するか？
• RQ5 エンタングルメントスペクトロスコピーは、非相互作用トポロジカル相およびそのエッジモードを特徴付けるために使用できるか？

主な発見

• 分数量子ホール効果のエンタングルメントスペクトルは、エッジ励起状態のスペクトルをよく再現しており、トポロジカル秩序の直接的な指標を提供する。
• 整数量子ホール効果においては、エンタングルメントスペクトルがランドウ準位に類似した準位を示し、チャノン的エッジモードを反映している。
• 分数量子ホール系では、エンタングルメントスペクトルに明確なギャップがあり、任意ons的統計と整合する準位数が観測される。
• モデル波動関数（例：ラウフリン状態）のオービタルエンタングルメントスペクトルは、期待されるトポロジカル縮退と任意ons的統計を再現する。
• この手法は、チェルン絶縁体などの非相互作用系に対しても、エンタングルメントスペクトルの特徴的な構造を介してトポロジカル秩序を的確に同定できる。
• エンタングルメントスペクトロスコピーは、基底状態からトポロジカル相を診断するための、ロバストで数値的に効率的な代替手法を提供する。