[論文レビュー] Entanglement Temperature and Entanglement Entropy of Excited States

Gabriel Wong, Israel Klich+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、共形場理論（CFT）における基底状態の量子もつれハミルトニアンと物理的ストレステンソルの間の場理論的関係を導出し、球面的エンタングルメント表面に対して、エネルギー密度に比例する局所的形で表されるもつれハミルトニアンが得られることを示している。空間的に変化する「もつれ温度」を導入し、保存量の変化によるもつれエントロピーの変化に対して局所的フリースト・ラウ法則に類似した関係を確立している。一方、非一様エネルギー密度励起状態における現在のホログラフィー的結果とは、不一致が生じていることが明らかになった。

ABSTRACT

We derive a general relation between the ground state entanglement Hamiltonian and the physical stress tensor within the path integral formalism. For spherical entangling surfaces in a CFT, we reproduce the \emph{local} ground state entanglement Hamiltonian derived by Casini, Huerta and Myers. The resulting reduced density matrix can be characterized by a spatially varying "entanglement temperature." Using the entanglement Hamiltonian, we calculate the first order change in the entanglement entropy due to changes in conserved charges of the ground state, and find a local first law-like relation for the entanglement entropy. Our approach provides a field theory derivation and generalization of recent results obtained by holographic techniques. However, we note a discrepancy between our field theoretically derived results for the entanglement entropy of excited states with a non-uniform energy density and current holographic results in the literature. Finally, we give a CFT derivation of a set of constraint equations obeyed by the entanglement entropy of excited states in any dimension. Previously, these equations were derived in the context of holography.

研究の動機と目的

• 経路積分形式を用いて、基底状態のもつれハミルトニアンと物理的ストレステンソルの間の一般場理論的関係を導出すること。
• カジーニ、フエラ、マイヤーズによる先行結果を確認するため、CFTにおける球面的エンタングルメント表面に対して局所のもつれハミルトニアンを再現すること。
• 空間的に変化する「もつれ温度」を用いて縮約密度行列を特徴づけ、もつれエントロピーの変化に関する局所的フリースト・ラウ法則に類似した関係を導出すること。
• 非一様エネルギー密度励起状態におけるもつれエントロピーについて、場理論的結果と現在のホログラフィー的結果との間に生じる不一致を特定すること。
• これまでホログラフィーでのみ得られていた、励起状態のもつれエントロピーの制約方程式をCFTで直接導出すること。

提案手法

• ユークリッド経路積分形式を用い、縮約密度行列をエンタングルメント領域Aの上境界から下境界へと進むユークリッド的「時間」sに沿った伝播関数として表現する。
• このs-進化の生成子としてのもつれハミルトニアンが導出され、ストレステンソルT₀₀に比例する局所的表現が得られる。
• 結果としてのもつれハミルトニアンは、H_A = ∫_A β(x)T₀₀(x)dx の形を取り、β(x)は空間的に依存するもつれ逆温度である。
• 保存量の変化に起因するもつれエントロピーの一次変化は、δS_A = Tr(δρ_A H_A) により計算され、局所的フリースト・ラウ法則に類似した関係が得られる。
• 2次元自由スカラーCFTにおいて、リンドラーモードと正規順序付けられたエネルギー密度を用いて、異なる手法との整合性を検証する明示的計算を実施する。
• 非一様励起状態への導出を拡張し、場理論的結果と既存のホログラフィック予測を比較することで、不一致を露呈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CFTにおける励起状態のもつれハミルトニアンは、経路積分形式を用いて第一原理からどのように導出可能か？
• RQ2 もつれエントロピーの文脈において、空間的に変化する「もつれ温度」の物理的解釈は何か？
• RQ3 保存量の変化に起因するもつれエントロピーの一次変化は、局所的フリースト・ラウ法則に類似した関係に従うか？
• RQ4 非一様に励起された状態における場理論的結果と、現在のホログラフィック予測との間で、もつれエントロピーにどのような相違が生じるか？
• RQ5 もつれエントロピーが満たす普遍的な制約方程式は何か？ そして、それらはCFTで直接導出可能か？

主な発見

• CFTにおける球面的エンタングルメント領域について、もつれハミルトニアンがH_A = ∫_A β(x)T₀₀(x)dxとして導出され、β(x)は幾何に依存する。この結果は、場理論的経路積分的手法により、カジーニ、フエラ、マイヤーズによる先行結果を再確認した。
• 縮約密度行列は、空間的に変化する「もつれ温度」β(x)によって特徴づけられ、これによりもつれ状態の局所的熱的性質が符号化されている。
• もつれエントロピーの変化に関する局所的フリースト・ラウ法則に類似した関係が確立された：δS_A = Tr(δρ_A H_A)。これは、もつれエントロピーの変化が励起状態におけるもつれハミルトニアンの期待値に比例することを示している。
• 非一様励起状態を有する2次元自由スカラー場において、もつれエネルギーδS_Aが明示的に計算され、πk(1 + coth(πk))の形を取り、経路積分法とモード和の両方の手法と一致した。
• 非一様に励起された状態におけるもつれエントロピーについて、場理論的結果と現在のホログラフィック予測との間に不一致が生じており、後者の問題が示唆された。
• 任意次元における励起状態のもつれエントロピーの普遍的制約方程式が、CFTで直接導出された。これらは、これまでホログラフィー的議論でのみ知られていたものである。