[論文レビュー] Entanglement, Toeplitz Determinants and Fisher-Hartwig Conjecture

Bai-Qi Jin, V. E. Korepin|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ゼロ温度および無限大系サイズにおける一次元XXスピン鎖におけるもつれを研究し、Lスピンからなるブロックのもつれエントロピーをトーペリッツ行列式で表現する。漸近解析を用いて、大Lにおける展開の最初の2項を導出し、可解な量子系におけるもつれスケーリングの正確な解析的記述を提供する。

ABSTRACT

We consider one-dimensional quantum spin chain, which is called XX model (XX0 model or isotropic XY model) in a transverse magnetic field. We are interested in the case of zero temperature and infinite volume. We study the entanglement of a block L of neighboring spins with the rest of the system. We represent the entanglement in terms of a Toeplitz determinant and calculate the asymptotic analytically. We derive first two terms of asymptotic decomposition. 1 1

研究の動機と目的

• ゼロ温度および無限大系サイズにおける一次元量子スピン鎖におけるもつれを理解すること。
• L個の隣接スピンからなるブロックと残りの系とのもつれをモデル化すること。
• 解析的取り扱いのため、もつれエントロピーをトーペリッツ行列式の対数として表現すること。
• L → ∞におけるもつれエントロピーの漸近的挙動を、展開の最初の2項に焦点を当てて計算すること。

提案手法

• 量子スピン鎖を横磁場中のXXモデルとしてモデル化する。
• Lスピンの部分系の混合密度行列を用いて、フォン・ノイマンエントロピーによりもつれを定量化する。
• 相関行列から生じるトーペリッツ行列式の対数としてもつれエントロピーを表現する。
• トーペリッツ行列式の漸近解析の技術を適用し、大Lにおける展開を導出する。
• 既知のFisher-Hartwig予想の結果を活用して、漸近級数の主要項および2番目の主要項を抽出する。
• もつれエントロピーの漸近展開における最初の2項の解析的形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 XXスピン鎖においてゼロ温度下で、もつれエントロピーはブロックサイズLに対してどのようにスケーリングするか？
• RQ2 もつれエントロピーの漸近展開における主要項および2番目の主要項の解析的形は何か？
• RQ3 熱力学的極限において、もつれエントロピーはトーペリッツ行列式を用いて表現され、計算可能か？
• RQ4 Fisher-Hartwig予想の結果は、可解モデルにおけるもつれの漸近解析にどのように寄与するか？
• RQ5 無限体積極限において、もつれエントロピーの系サイズLへの正確な関数的依存性は何か？

主な発見

• XXモデルにおけるLスピンのブロックのもつれエントロピーは、トーペリッツ行列式の対数として表現される。
• 大Lにおけるもつれエントロピーの漸近展開には、log Lに比例する主要項が含まれる。
• 展開における最初の補正項はLに依存しない定数であり、解析的に導出された。
• 漸近級数における2番目の項が明示的に計算され、もつれエントロピーの有限サイズ補正に寄与する。
• 結果はFisher-Hartwig予想を用いて導出されており、この文脈におけるトーペリッツ行列式の漸近形の妥当性が確認された。
• 解析的表現により、一次元臨界量子系におけるもつれスケーリングの正確な記述が可能になった。