[論文レビュー] Entanglements and compound states in quantum information theory

V. P. Belavkin, Masanori Ohya|ArXiv.org|Apr 18, 2000

Quantum Information and Cryptography参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、合成量子系における量子もつれの洗練された分類を導入し、d-もつれ（古典的量子結合）、o-もつれ（分離状態）、q-もつれ（真の量子もつれ）を区別する。また、ノイズレス量子チャネルのq容量—すべての量子もつれにおける相互情報量の上界—が、入力のヴァン・ネウマン代数の次元の対数によって上限付けられ、これはd-もつれによる古典的容量を2倍にすることが可能であることを示している。

ABSTRACT

Quantum entanglements, describing truly quantum couplings, are stu died and classified from the point of view of quantum compound states. We show that c lassical-quantum correspondences such as quantum encodings can be treated as d-entanglements leading to a special class of the separable compound states. The mutual information of the d-compound and entangled states lead to two di fferent types of entropies for a given quantum state: the von Neumann entrop y, which is achieved as the supremum of the information over all d-entanglem ents, and the dimensional entropy, which is achieved at the standard entangl ement, the true quantum entanglement, coinciding with a d-entanglement only in the commutative case. The q-capacity of a quantum noiseless channel, defi ned as the supremum over all entanglements, is given as the logarithm of the dimensionality of the input von Neumann algebra. It can double the classical capacity, achieved as the supremum over all semi-quantum couplings (d-entang lements, or encodings), which is bounded by the logarithm of the dimensional ity of a maximal Abelian subalgebra.

研究の動機と目的

• 標準的な分離状態およびもつれ状態とは異なる、より洗練された数学的分類を提供すること。
• 特に相互情報量およびエントロピーの観点から、さまざまな種類の量子複合状態の情報的内容を分析すること。
• フォン・ノイマンエントロピー（半古典的）と真の量子もつれに由来する新しい「次元エントロピー」（準エントロピー）の違いを明確にすること。
• 量子チャネルのq容量を、すべての量子結合における相互情報量の上界として定義し、古典的および半古典的容量と比較すること。
• 最大相互情報量が極端なもつれ状態、特にマージナルが一致する標準もつれ状態で達成されることを示すこと。

提案手法

• 3種類のもつれを導入：d-もつれ（古典的プローブ結合）、o-もつれ（直交分解による分離状態）、q-もつれ（プローブ系自身との極端なもつれによる真の量子もつれ）。
• フォン・ノイマンエントロピーを用いて複合状態の相互情報量を定義し、異なるもつれクラスに適用して情報含量を比較する。
• シャテン分解と最大アーベル部分代数を用いて、d-もつれにおける相互情報量の上界を特徴付け、古典的エントロピーと関連付ける。
• q容量をすべてのq-もつれにおける相互情報量の上界として導出し、$\ln \dim \mathcal{A} $ に等しいことを示す。ここで $\mathcal{A}$ はヴァン・ノイマン代数である。
• マージナルが一致する標準もつれ状態（準複合状態）の概念を適用し、最大相互情報量を達成し、準エントロピー $S_q(\varrho)$ を定義する。
• 決定的チャネルにおいて、o-もつれを用いると相互情報量 $I(\varrho_0, \Lambda)$ がフォン・ノイマンエントロピー $S(\varrho_0)$ に等しくなり、q-もつれを用いると準エントロピー $S_q(\varrho_0)$ に等しくなることを証明し、$C_q(\Lambda) = \ln \dim \mathcal{A}^\circ$ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合成量子系におけるd-もつれ（古典的量子結合）、o-もつれ（分離状態）、q-もつれ（真の量子もつれ）の間の情報的差異は何か？
• RQ2 フォン・ノイマンエントロピーと新たに定義された準エントロピー（次元エントロピー）は、量子チャネルにおける相互情報量とどのように関係するか？
• RQ3 量子ノイズレスチャネルのq容量は、d-もつれによる古典的容量を上回ることができるか？ もし上回るならば、どの程度上回るか？
• RQ4 すべてのもつれにおける最大相互情報量が達成される条件は何か？ どのようなもつれ状態がこの最大値を実現するか？
• RQ5 q容量 $C_q(\Lambda)$ と入力のヴァン・ノイマン代数 $\mathcal{A}$ の次元性の関係は何か？

主な発見

• 量子ノイズレスチャネルのq容量は $C_q(\Lambda) = \ln \dim \mathcal{A}^\circ$ であり、これはすべての量子もつれにおける相互情報量の上界であり、古典的容量の2倍に達する可能性がある。
• d-もつれを用いて達成される古典的容量 $C(\Lambda)$ は $\ln \mathrm{rank}\, \mathcal{A}^\circ$ によって上限付けられ、$\mathcal{A}^\circ$ が非アーベル的かつ有限次元的である場合には $C_q(\Lambda)$ よりも厳密に小さい。
• 決定的チャネルにおいて、o-もつれを用いると相互情報量 $I(\varrho_0, \Lambda)$ はフォン・ノイマンエントロピー $S(\varrho_0)$ に等しくなり、q-もつれを用いると準エントロピー $S_q(\varrho_0)$ に等しくなる。
• 最大相互情報量は標準もつれ状態（準複合状態）で達成され、これはアーベル的である場合、または状態が純粋である場合にのみo-もつれに属する。
• 準エントロピー $S_q(\varrho_0)$ は $H_{\mathcal{A}^\circ}(\varrho_0)$ として定義され、非アーベル的 $\mathcal{A}^\circ$ および混合状態 $\varrho_0$ に対してフォン・ノイマンエントロピー $S(\varrho_0)$ よりも厳密に大きいことが示され、真の量子エントロピーとしての性質を有する。
• 有限次元の場合、q容量 $C_q(\Lambda)$ は正規トレース状態で達成され、ヴァン・ノイマン代数 $\mathcal{A}^\circ$ の次元の対数と一致する。