[論文レビュー] Entire functions of exponential type represented by pseudo-random and random Taylor series

Alexander Borichev, Alon Nishry+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、擬似乱数または乱数の係数を用いたテイラー級数によって生成される指数型整関数の零点の偏角分布を調査する。係数列の自己相関に支配されることを示し、多項式型・累乗型位相に対して一様な偏角分布が成り立つことを証明するとともに、零点集合が特定の方向を避けるためのスペクトル的条件を確立する。

ABSTRACT

We study the influence of the multipliers $\\xi (n)$ on the angular distribution of zeroes of the Taylor series \\[ F_\\xi (z) = \\sum_{n\\ge 0} \\xi (n) \\frac{z^n}{n!}\\,. \\] We show that the distribution of zeroes of $ F_\\xi $ is governed by certain autocorrelations of the sequence $ \\xi $. Using this guiding principle, we consider several examples of random and pseudo-random sequences $\\xi$ and, in particular, answer some questions posed by Chen and Littlewood in 1967. As a by-product we show that if $\\xi$ is a stationary random integer-valued sequence, then either it is periodic, or its spectral measure has no gaps in its support. The same conclusion is true if $\\xi$ is a complex-valued stationary ergodic sequence that takes values from a uniformly discrete set.

研究の動機と目的

• 係数 ξ(n) の選択が、整関数 Fξ(z) = ∑ ξ(n) zⁿ / n! の零点の偏角分布にどのように影響するかを理解すること。
• 乱数または準周期的係数に関する既知の零点分布の結果を、より広いクラスの列に拡張すること。
• 定常列のスペクトル測度と関連する整関数のインジケータ図形との間の関係を確立すること。
• Chen および Littlewood (1967) が提起した、ξ(n) = e(n^β) (β ≥ 3/2) の場合の関数の零点分布に関する未解決問題を解明すること。
• 定常的かつ整数値または一様離散値をとる列に対して、そのスペクトル測度にギャップがない（周期的であるか、退化している場合を除く）ことを証明すること。

提案手法

• R ≫ 1 かつ N ≈ R^{1/2+ε} のとき、W_R(θ) = ∑_{|n|≤N} ξ(n+R) e(nθ) e^{-n²/(2R)} の指数和の漸近的解析とポテンシャル論を用いる。
• 零点分布の問題を、ξ(n) の自己相関構造に関連する指数和の下界に還元する。
• Bochner の定理と Cartwright の定理を用いて、ξ(n) を補間する近似整関数の収束を分析する。
• Laplace 変換に関する Pólya の定理を用い、f(s) = ∑ ξ(n)sⁿ の解析接続と Fξ のインジケータ図形との関係を関係づける。
• Phragmén–Lindelöf の定理と水平帯における一様収束を用いて、近似関数の成長を制御する。
• 定常列のスペクトル測度 σ(ξ) を分析し、σ(ξ) にギャップがあるならば、Fξ は特定の方向にゆっくり成長することを示すが、これは指数型であるためには、列が周期的または退化している必要があると矛盾を引き起こす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ξ(n) がどのような条件下で、整関数 Fξ(z) = ∑ ξ(n) zⁿ / n! の零点が偏角方向に一様に分布するか？
• RQ2 係数列 ξ(n) の自己相関が、Fξ の零点の偏角分布にどのように影響するか？
• RQ3 定常列 ξ(n) のスペクトル測度と関連する整関数 Fξ のインジケータ図形との間の関係は何か？
• RQ4 ξ(n) が定常的ガウス過程である場合、Fξ の零点分布は非一様になり得るか？
• RQ5 ξ(n) の定常性および離散的値域が、スペクトル測度に与える制約、特にその台にギャップがある場合にどのような制限を課えるか？

主な発見

• ξ(n) = e(Q(n)) で、Q が実係数多項式（次数 ≥2）かつ少なくとも1つの係数が無理数であるとき、Fξ は偏角方向に一様に零点をもつ（すなわち、ξ は L-系列）。
• ξ(n) = e(n^β) で、非整数 β > 1（β ≥ 3/2 を含む）のとき、Fξ は偏角方向に一様に零点をもつ。これは Chen および Littlewood の予想を裏付ける。
• ξ が定常的整数値列であるとき、ξ は周期的であるか、またはそのスペクトル測度の台にギャップがない。
• ξ が定常的複素数値エルゴード列で、一様離散集合に値をとるとき、ξ が周期的でない限り、そのスペクトル測度にギャップがない。
• 定常的ガウス過程の列に対しては、Fξ の零点集合の偏角密度は一般に定数ではなく、ξ のスペクトル、つまり自己相関によって決定される。
• Fξ のインジケータ図形は、スペクトル σ*(ξ) の閉凸包に含まれ、σ(ξ) が単位円の弧を避けるならば、Fξ はその方向に e^r よりも速く成長しない。