[論文レビュー] Entire Functions Sharing Small Functions With Their Difference Operators

Zinelaâbidine Latreuch, Abdallah El Farissi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2015

Meromorphic and Entire Functions参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ネヴァンリンナ理論と整値関数および小関数（S(f)の意味で）の値分布技法を用いて、微分に関する古典的一意性定理を差分方程式へ一般化し、有限型の非定数整値関数がそのn次および(n+1)次差分作用素と2つの小周期関数を共有する（重複度を数える）ならば、(n+1)次差分作用素はn次差分作用素に等しいことを証明することで、複素解析における古典的一意性定理の差分作用素版を確立する。結果は、微分に関する一意性に関する先行研究を、差分方程式へ一般化するものである。

ABSTRACT

We investigate uniqueness problems for an entire function that shares two small functions of finite order with their difference operators. In particular, we give a generalization of a result in $[2]$.

研究の動機と目的

• 整値関数の有限型という文脈において、メロモルフィック関数に関する古典的一意性定理を差分作用素へ拡張すること。
• 整値関数がその差分作用素と小周期関数を共有する条件、特にn次および(n+1)次差分作用素に関して、その条件を調査すること。
• 微分に関する一意性に関する先行結果（例：定理B）を差分方程式へ一般化し、そのような結果の差分版を確立すること。
• 小関数を共有する条件の下で、(n+1)次差分作用素がn次差分作用素に等しくなる条件を特定すること。
• 特にCM（重複度を数える）の意味で、差分作用素と値を共有する整値関数の構造を調査すること。

提案手法

• 特に整値関数の型と成長度に注目した、メロモルフィック関数のネヴァンリンナ値分布理論を用いる。
• fに関する小関数の概念を適用し、S(f)として表記する。ここで、r → ∞ のとき、T(r,a) = S(r,f) となる。
• シフトcを伴う差分作用素Δ_c^n f(z) = Δ_c(Δ_c^{n-1}f(z))を用い、f(z)との関連におけるその値分布を研究する。
• g(z) = f(z) + b(z) - a(z) と置換することで、非ゼロ小関数との共有問題を共有ゼロ問題に還元する。
• 比表現 Δ_c^n f / f = e^{P(z)} から生じる指数関数の成長および周期性を分析し、多項式PとQの次数が異なる場合に矛盾を導く。
• 指数表現における多項式P(z)とQ(z)の次数比較に基づく背理法を用い、deg P = deg(Q - P) > 1 または deg P = 1 である場合、作用素が等しくない限り矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限型の整値関数fが、重複度を数える条件下で、小周期関数a(z) ∈ S(f) をn次および(n+1)次差分作用素と共有する条件は何か？
• RQ2 微分作用素に関する古典的一意性結果（例：f ≡ f'）は、有限型の整値関数の文脈で差分作用素へ一般化可能か？
• RQ3 f、Δ_c^n f、Δ_c^{n+1} f が0をCMで共有する場合、その構造にどのような制約が生じるか？
• RQ4 f、Δ_c^n f、Δ_c^{n+1} f が小関数a(z)をCMで共有する条件下で、Δ_c^{n+1}f がΔ_c^n f と異なる可能性はあり、その場合の条件は何か？
• RQ5 関与する関数（特に指数項）の成長および周期性の性質が、差分作用素の一意性および等価性にどのように影響するか？

主な発見

• 非定数の有限型整値関数fが、S(f)に属する非ゼロ小周期関数a(z) をn次および(n+1)次差分作用素Δ_c^n f および Δ_c^{n+1} f と重複度を数えて共有するならば、Δ_c^{n+1} f ≡ Δ_c^n f が成り立つ。
• f − a(z)、Δ_c^n f − b(z)、Δ_c^{n+1} f − b(z) がb(z) ∈ S(f) に対して0をCMで共有するならば、Δ_c^{n+1} f ≡ Δ_c^n f が成り立つ。
• f、Δ_c^n f、Δ_c^{n+1} f が0をCMで共有する場合、比 Δ_c^n f / f = e^{P(z)} および Δ_c^{n+1} f / f = e^{Q(z)} と表され、PおよびQは多項式である。deg P = deg(Q − P) > 1 ならば、矛盾が生じる。
• deg P = deg(Q − P) = 1 の場合、関数 e^{P(z)} は周期cの周期関数となり、Δ_c^{n+1} f = C Δ_c f となるが、これはΔ_c^{n+1} f ≡ C Δ_c^n f でない限り仮定に反する。
• 共有する小関数が定数でない場合でも、周期がcでS(f)に属する限り、Δ_c^{n+1} f ≡ Δ_c^n f が成り立つ。
• 本稿は、開かれている問題を解決し、高階差分作用素の等価性がCM共有条件のもとで保たれることを示し、定理EおよびFを(n+1)次差分作用素へ一般化した。