[論文レビュー] Entire solutions of Schrödinger elliptic systems with discontinuous nonlinearity and sign-changing potential

Teodora Liliana Dinu|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2005

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、不連続な非線形性と符号変化するポテンシャルを有する、静的シュレーディンガー楕円型系の非自明な整関数解の存在を、非滑らか臨界点理論を用いて確立する。チャングの局所リプシッツ汎関数に対するマウンテンパス補題を適用することで、被覆的成長および下から有界で爆発するポテンシャルのもとで、非自明な弱解の存在を証明し、ラビノヴィッツの結果を非滑らかフレームワークに一般化する。

ABSTRACT

We establish the existence of an entire solution for a class of stationary Schrödinger systems with subcritical discontinuous nonlinearities and lower bounded potentials that blow-up at infinity. The proof is based on the critical point theory in the sense of Clarke and we apply Chang's version of the Mountain Pass Lemma for locally Lipschitz functionals. Our result generalizes in a nonsmooth framework a result of Rabinowitz \cite{rabi} related to entire solutions of the Schrödinger equation.

研究の動機と目的

• 不連続非線形性を有する結合シュレーディンガー楕円型系の整関数解の存在を確立すること。
• シュレーディンガー方程式の整関数解に関するラビノヴィッツの結果を、非滑らかかつ不連続な設定に拡張すること。
• 滑らかでないか、符号が定義されていない可能性を有する、下から有界で爆発するポテンシャルを有する系を分析すること。
• Clarkeの一般化された勾配と非滑らか解析を用いて、非線形性が連続でない系に変分法を適用すること。
• 臨界点枠組みにおいて、不連続および符号変化する非線形性を有する系の整関数解の存在理論を一般化すること。

提案手法

• Clarkeの一般化された勾配を用いて、局所リプシッツ汎関数の多値楕円型系に問題を再定式化する。
• Hilbert空間 E 上に汎関数 I を定義し、エネルギー項と多値非線形性の積分を組み合わせる。
• 局所リプシッツ汎関数 I に非滑らか版（チャングの版）のマウンテンパス補題を適用する。
• パライス＝スモールーズ列を構成し、E で有界であることを示し、弱収束および L^2_loc での強収束を保証する。
• コンパクト性の議論と部分微分の構造により、弱極限 U がClarkeの意味で弱解であることが保証される。
• 解の非自明性は背理法により証明され、列が L^{p+1} でゼロに収束しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続非線形性および符号変化するポテンシャルを有するシュレーディンガー楕円型系に整関数解が存在するか？
• RQ2 古典的マウンテンパス定理は、非滑らかかつ不連続な非線形性を有する系に拡張可能か？
• RQ3 ポテンシャルおよび非線形性にどのような条件が、変分枠組みにおける非自明な整関数解の存在を保証するか？
• RQ4 非線形性が連続でない場合、Clarkeの一般化された勾配をどのように用いて弱解を定義できるか？
• RQ5 被覆的成長および爆発するポテンシャルのもとで、非滑らか臨界点理論により得られる解は非自明か？

主な発見

• ほとんど everywhere で ℝ^N 内に、−Δu₁ + a(x)u₁ ∈ [f̲(x,u₁,u₂), f̄(x,u₁,u₂)] および −Δu₂ + b(x)u₂ ∈ [g̲(x,u₁,u₂), ḡ(x,u₁,u₂)] を満たす非自明な整関数解が存在する。
• 解 U は、Hilbert空間 E 内のパライス＝スモールーズ列の弱極限として得られ、E で有界であり、L^2_loc(ℝ^N) で強収束する。
• 解 U はClarkeの一般化された勾配の意味で、almost everywhere で ℝ^N 内に W(x) ∈ [f̲(x,U), f̄(x,U)] × [g̲(x,U), ḡ(x,U)] を満たす。
• 列 {U_m} が L^{p+1}(ℝ^N; ℝ^2) でゼロに収束しないことを示すことにより、解の非自明性が確立される。
• 汎関数 I はマウンテンパスの幾何的性質および非滑らかパライス＝スモールーズ条件を満たし、列が臨界点に収束することを保証する。
• 本結果は、不連続非線形性および符号変化するポテンシャルを有する系について、ラビノヴィッツの存在結果を非滑らか変分的設定に一般化する。