[論文レビュー] Entire Solutions of the Allen-Cahn equation and Complete Embedded Minimal Surfaces of Finite Total Curvature in $\R^3$

Manuel del Pino, Michał Kowalczyk+1 more|ArXiv.org|Feb 12, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^3$ 内の完全で埋め込まれた有限総曲率の最小曲面（$m \geq 2$ 個の端を持つ）の近傍で、近似解を用いて、有限モーレー指数をもつ有界で整関数のアレン・カーン方程式の解を構成する。$m-1$ 個のパラメータに依存する非剛体な解が存在し、それらの等高面は拡大された最小曲面 $M_\alpha = \alpha^{-1}M$ を近似する。これらの解は $L^\infty$-非退化であり、モーレー指数は最小曲面のそれと等しいことが示され、最小曲面の幾何学と相転移解との間の強い関係が確立される。

ABSTRACT

We consider minimal surfaces $M$ which are complete, embedded and have finite total curvature in $\R^3$, and bounded, entire solutions with finite Morse index of the Allen-Cahn equation $Δu + f(u) = 0 \hbox{in} \R^3 $. Here $f=-W'$ with $W$ bistable and balanced, for instance $W(u) =\frac 14 (1-u^2)^2$. We assume that $M$ has $m\ge 2$ ends, and additionally that $M$ is non-degenerate, in the sense that its bounded Jacobi fields are all originated from rigid motions (this is known for instance for a Catenoid and for the Costa-Hoffman-Meeks surface of any genus). We prove that for any small $α>0$, the Allen-Cahn equation has a family of bounded solutions depending on $m-1$ parameters distinct from rigid motions, whose level sets are embedded surfaces lying close to the blown-up surface $M_α:= α^{-1} M$, with ends possibly diverging logarithmically from $M_\A$. We prove that these solutions are $L^\infty$-{\em non-degenerate} up to rigid motions, and find that their Morse index coincides with the index of the minimal surface. Our construction suggests parallels of De Giorgi conjecture for general bounded solutions of finite Morse index.

研究の動機と目的

• 有界で整関数のアレン・カーン方程式の解で有限モーレー指数をもつものと、$\mathbb{R}^3$ 内の完全で埋め込まれた有限総曲率の最小曲面との間の対応関係を確立すること。
• 小さな $\alpha > 0$ に対して、$M_\alpha = \alpha^{-1}M$ に近い、$m-1$ 個のパラメータに依存する一意のパラメータ族の解を、アレン・カーン方程式に構成すること。
• 構成された解が剛体運動を除き $L^\infty$-非退化であり、それらのモーレー指数が基礎となる最小曲面 $M$ のそれと等しいことを証明すること。
• 高次元におけるデ・ジョルジ予想と、有限モーレー指数をもつアレン・カーン方程式の解との類似性を探索すること。

提案手法

• 最小曲面の局所的幾何と漸近的挙動を活用し、拡大された最小曲面 $M_\alpha = \alpha^{-1}M$ の近傍で、アレン・カーン方程式の解をグリューリング構成により構築する。
• 最小曲面のジャコビ作用素に基づく一次近似を用い、反復的改善により近似を高める。
• 線形化作用素の核に射影することで非線形問題を有限次元のグリューリング系に還元し、収縮写像を用いて射影問題を解く。
• 重み付きソボレフ空間および $L^\infty$ 評価を用いて、近接領域、端領域、遠方領域における誤差項を制御する。
• 近似解の周囲での線形化作用素の解析を行い、事前推定と収縮法による解の存在を証明する。
• 最小曲面の端における対数的増加のジャコビ場の研究により、線形化作用素の核を理解し、非退化性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界で整関数のアレン・カーン方程式の解で有限モーレー指数をもつものを作ることができ、$\mathbb{R}^3$ 内の完全で埋め込まれた有限総曲率の最小曲面の近傍に構成可能か？
• RQ2 このような解の解空間の次元は何か？また、それは最小曲面の端の数とどのように関係するか？
• RQ3 構成された解は剛体運動を除き $L^\infty$-非退化であり、そのモーレー指数は最小曲面 $M$ のそれと一致するか？
• RQ4 解の等高面は漸近的にどのように振る舞うか？特に最小曲面の端との関係において。
• RQ5 端における対数的増加のジャコビ場が、解空間の構造を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 任意の十分に小さい $\alpha > 0$ に対して、アレン・カーン方程式は、$m-1$ 個のパラメータ（剛体運動を除く）に依存する有界で整関数の解をもつ。これらの解の等高面は $M_\alpha = \alpha^{-1}M$ に近く、端が対数的に発散する可能性がある。
• 構成された解は剛体運動を除き $L^\infty$-非退化であり、これは非自明な有界ジャコビ場が剛体運動に由来するもの以外には存在しないことを意味する。
• 構成された解のモーレー指数は、最小曲面 $M$ のそれと正確に一致する。これにより、両者のインデックスの間の明確な対応関係が確立される。
• 解は端を除く領域で $C^2$ 位相において最小曲面 $M_\alpha$ に漸近的に近いが、非線形方程式における誤差項は制御可能である。
• 解の存在は最小曲面の幾何に依存する：構成は $M$ の非退化性（有界ジャコビ場が剛体運動に由来するもののみ）に依存し、ケーテノイドやコスタ＝ホフマン＝ミークス曲面などの曲面で成立する。
• 解析により、端における対数的増加のジャコビ場が線形化作用素の核において重要な役割を果たし、$m-1$ 個のパラメータに依存する解族の存在に不可欠であることが明らかになった。