[論文レビュー] Entrance laws for annihilating Brownian motions

Matthias Hammer, Marcel Ortgiese+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、消滅ブラウン運動（aBMs）と連続空間ボーター模型の間の関係を確立し、無限系のaBMsの入射法則の完全な分類を可能にした。この関係を活用することで、任意の入射法則下でのn点密度の明示的表現が得られ、有限近似による収束が示された。

ABSTRACT

Consider a system of particles moving independently as Brownian motions until two of them meet, when the colliding pair annihilates instantly. The construction of such a system of annihilating Brownian motions (aBMs) is straightforward as long as we start with a finite number of particles, but is more involved for infinitely many particles. In particular, if we let the set of starting points become increasingly dense in the real line it is not obvious whether the resulting systems of aBMs converge and what the possible limit points (entrance laws) are. In this paper, we show that aBMs arise as the interface model of the continuous-space voter model. This link allows us to provide a full classification of entrance laws for aBMs. We also give some examples showing how different entrance laws can be obtained via finite approximations. Further, we discuss the relation of the continuous-space voter model to the stepping stone and other related models. Finally, we obtain an expression for the $n$-point densities of aBMs starting from an arbitrary entrance law.

研究の動機と目的

• 無限系の消滅ブラウン運動（aBMs）のすべての可能な入射法則を分類すること。
• 無限に多くの粒子から出発するaBMsの厳密な構成を確立すること。
• aBMsと連続空間ボーター模型の間の関係を、界面模型としての役割として明確にすること。
• 有限粒子近似が無限粒子極限において、異なる入射法則にどのように収束するかを分析すること。
• 任意の入射法則下でのaBMsのn点密度の明示的表現を導出すること。

提案手法

• 連続空間ボーター模型を界面模型として用い、そのダイナミクスをaBMsのダイナミクスに写像する。
• ボーター模型とaBMsの双対性を活用し、ボーター模型の定常的および一時的挙動を通じて入射法則を特徴づける。
• スケーリング極限と収束議論を適用し、aBMsの有限近似が適切に定義された入射法則に収束することを示す。
• 双対性とボーター模型からのaBMsのパスワイズ構成を用いて、n点密度を導出する。
• 双対性を用いて、aBMsのn点密度を初期入射法則の関数として表現する。
• ステッピング・ストーン模型および関連模型を分析し、ボーター模型の構成における役割を文脈づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限系の消滅ブラウン運動の可能な入射法則は何か？
• RQ2 aBMsの有限粒子近似は、どのように異なる入射法則に収束するのか？
• RQ3 連続空間ボーター模型と消滅ブラウン運動の正確な関係は何か？
• RQ4 任意の入射法則から出発するaBMsのn点密度は、どのように表現できるか？
• RQ5 ステッピング・ストーン模型および関連模型は、aBMsの入射法則の構造を理解するために果たす役割は何か？

主な発見

• 連続空間ボーター模型は、aBMsの界面模型として機能し、入射法則の完全な分類を可能にする。
• aBMsの入射法則は、連続空間ボーター模型の定常測度および一時的測度によって完全に特徴づけられる。
• aBMsの有限近似は、初期粒子密度と空間配置のスケーリングに応じて、異なる入射法則に収束する。
• ボーター模型との双対性を用いて、aBMsのn点密度の明示的表現が得られた。
• ステッピング・ストーン模型および関連模型が、同じ双対性フレームワークを通じて関連していることが示され、基礎となる確率過程の理解が深まった。
• 実数直線上の粒子系が密度を増大させた極限が、適切に定義されたaBM系をもたらすことが確認され、長年の構成問題が解決された。