[論文レビュー] Entropic Measure and Wasserstein Diffusion

Max‐K. von Renesse, Karl‐Theodor Sturm|ArXiv.org|Apr 5, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、相対エントロピーをハミルトニアンとして用い、円周および単位区間上の確率測度の空間にギブス型のエントロピー的測度を構成し、滑らかな微分同相写像の下での準不変性を確立する。また、 Wasserstein空間上に2つの拡散過程を導入する：1つはマリヤンのブラウン運動に関連するもので、もう1つは熱方程式を摂動する標準的な確率測度値拡散であり、それらの内在的距離は $L^2$-Wasserstein距離で与えられる。

ABSTRACT

We construct a new random probability measure on the sphere and on the unit interval which in both cases has a Gibbs structure with the relative entropy functional as Hamiltonian. It satisfies a quasi-invariance formula with respect to the action of smooth diffeomorphism of the sphere and the interval respectively. The associated integration by parts formula is used to construct two classes of diffusion processes on probability measures (on the sphere or the unit interval) by Dirichlet form methods. The first one is closely related to Malliavin's Brownian motion on the homeomorphism group. The second one is a probability valued stochastic perturbation of the heat flow, whose intrinsic metric is the quadratic Wasserstein distance. It may be regarded as the canonical diffusion process on the Wasserstein space.

研究の動機と目的

• 現在の幾何的構造 $({\mathcal{P}}(M), d_W)$ を有するが、その空間 $\mathcal{P}(M)$ 上に自然なリーマン体積測度が存在しない現状に対し、$\mathcal{P}(M)$ 上に自然なリーマン体積測度を構築すること。
• ディリクレ形式と部分積分による積分法的枠組みを用いて、$\mathcal{P}(M)$ 上での確率的および解析的微積分の厳密なフレームワークを構築すること。
• $\mathcal{P}(M)$ 上に、その内在的幾何が2次 Wasserstein 距離によって支配される標準的拡散過程を定義すること。
• 滑らかな微分同相写像の下でエントロピー的測度の準不変性公式を確立し、不変拡散の構成を可能にする。

提案手法

• 確率測度を逆分布関数 $g_\mu$ を用いて表現し、問題を $L^2([0,1])$ 内の非減少関数上に測度 $\mathbb{Q}_0^\beta$ を構成する問題に変換する。
• 形式的にエントロピー的測度 $\mathbb{P}^\beta$ を $d\mathbb{P}^\beta(\mu) = \frac{1}{Z_\beta} e^{-\beta \cdot \text{Ent}(\mu)} d\mathbb{P}(\mu)$ として定義し、$\text{Ent}(\mu)$ をハミルトニアンとする。
• $\mathbb{P}^\beta$ が滑らかな微分同相写像 $h$ による押し出しの下で準不変であることを証明し、変数変換の公式を2つの項で与える：$X_h^\beta$（エントロピー関連）および $Y_h^0$（幾何的ヤコビアン）。
• 準不変性から導かれる部分積分公式を用いて、$\mathcal{P}(M)$ 上に2つのクラスのディリクレ形式を構成し、それらから拡散過程を導出する。
• martingale問題を用いて Wasserstein 拡散を特徴付ける：$M_t = \langle\alpha, \mu_t\rangle - \frac{\beta}{2}\int_0^t \langle\alpha'' , \mu_s\rangle ds - \text{補正項}$ は連続局所 martingale であり、二次変動は $\int_0^t \langle(\alpha')^2, \mu_s\rangle ds$ である。
• Varadhan 型の短時間漸近を確立する：$\lim_{t\to 0} t \log p_t(A,B) = -\frac{d_W(A,B)^2}{2}$ であり、Wasserstein 距離が内在的距離であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様次元多様体上での確率測度空間に、相対エントロピーをハミルトニアンとして用いた自然な、準不変なギブス測度を構成できるか？
• RQ2 得られた測度が、その内在的距離が $L^2$-Wasserstein 距離である $\mathcal{P}(M)$ 上の標準的拡散過程を支持するか？
• RQ3 基底空間の滑らかな微分同相写像の下でエントロピー的測度の正確な変数変換公式は何か？
• RQ4 Wasserstein 拡散は、超ブラウン運動やフレミング＝ヴィオット過程などの既知の測度値拡散とどのように関係するか？
• RQ5 短時間挙動が Varadhan の公式を用いて Wasserstein 距離によって特徴付けられるか？

主な発見

• エントロピー的測度 $\mathbb{P}^\beta$ は $\mathcal{P}(S^1)$ および $\mathcal{P}([0,1])$ 上に厳密に構成され、基準測度に対する密度は $e^{-\beta \cdot \text{Ent}(\mu)}$ に比例する。
• $\mathbb{P}^\beta$ は滑らかな微分同相写像 $h$ の下で準不変であり、Radon-Nikodym 導来は $\frac{d\mathbb{P}^\beta(h_*\mu)}{d\mathbb{P}^\beta(\mu)} = X_h^\beta \cdot Y_h^0(\mu)$ である。ここで $X_h^\beta = \exp\left(\beta \int_{S^1} \log h'(t) d\mu(t)\right)$ であり、$Y_h^0$ は $\mu$ の台におけるギャップ構造を考慮する。
• Wasserstein 拡散過程 $\mu_t$ は、漂移項 $\frac{\beta}{2}\int_0^t \langle\alpha'', \mu_s\rangle ds$ と、$\mu_s$ の台における2次微分およびギャップに依存する補正項を持つ martingale 問題によって特徴付けられる。
• martingale $M_t$ の二次変動は $\int_0^t \langle(\alpha')^2, \mu_s\rangle ds$ である。これにより、拡散の内在的幾何が $L^2$-Wasserstein 距離によって支配されることを確認する。
• 短時間遷移密度は Varadhan の公式を満たす：$\lim_{t\to 0} t \log p_t(A,B) = -\frac{d_W(A,B)^2}{2}$ であり、Wasserstein 距離が過程の内在的距離であることを証明する。
• 過程 $\mu_t$ は熱方程式の確率的摂動であり、その生成作用素 $\mathbb{L}$ は $\beta$ によって僅かに漂移項 $\mathbb{L}_3$ のみに依存する。$\beta \to \infty$ のとき $\frac{1}{\beta}\mathbb{L} \to \mathbb{L}_3$ である。