[論文レビュー] Entropic Mechanics

Vitaly Vanchurin|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、隠れた保存量を有する系における確率的ダイナミクスをモデル化するために、定常エントロピー生成の原理を用い、時間に依存するラグランジュ乗数を含む変分枠組みに問題を変換する。遷移行列が対称的であるか、詳細つり合いが成立し、かつ系が平衡に近く、保存量が多数存在する場合、ダイナミクスはラグランジュ乗数が位相として作用するシュレーディンガー方程式に従う。

ABSTRACT

We consider a stochastic process which is (a) described by a continuous-time Markov chain on only short time-scales and (b) constrained to conserve a number of hidden quantities on long time-scales. We assume that the transition matrix of the Markov chain is given and the conserved quantities are known to exist, but not explicitly given. To study the stochastic dynamics we propose to use the principle of stationary entropy production. Then the problem can be transformed into a variational problem for a suitably defined action and with time-dependent Lagrange multipliers. We show that the stochastic dynamics can be described by a Schrodinger equation, with Lagrange multipliers playing the role of phases, whenever (a) the transition matrix is symmetric or the detailed balance condition is satisfied, (b) the system is not too far from the equilibrium and (c) the number of the conserved quantities is large.

研究の動機と目的

• 長時間スケールにおける隠れた保存量を有する確率過程を、エントロピー生成の原理を用いてモデル化すること。
• 連続時間マーカフ連鎖における保存量の明示的形が未知であるという課題に対処すること。
• 制約の強制に時間に依存するラグランジュ乗数を組み込んだ変分形式を導出すること。
• 結果として得られるダイナミクスがシュレーディンガー方程式で記述可能となる条件を確立すること。
• 対称性、平衡に近い挙動、保存量の数が、量子力学的ダイナミクスの出現に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 定常エントロピー生成の原理を適用して、確率的ダイナミクスの変分形式を導出する。
• 変分作用に時間に依存するラグランジュ乗数を導入し、隠れた量の保存を強制する。
• 遷移行列のダイナミクスと制約項を組み合わせた適切に構築された作用関数を定義する。
• 作用から導かれるオイラー＝ラグランジュ方程式を用いて、確率的進化方程式を導出する。
• 遷移行列の対称性または詳細つり合いの成立を仮定して、ダイナミクスを簡略化する。
• 平衡に近く、保存量の数が多い条件下で、ダイナミクスが位相的ラグランジュ乗数を有するシュレーディンガー方程式に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 隠れた保存量を有する確率過程のダイナミクスが、どのような条件下でシュレーディンガー方程式で記述可能となるか。
• RQ2 定常エントロピー生成の原理が、制約付き確率的ダイナミクスの変分形式を導出するのをどのように可能にするか。
• RQ3 保存量の明示的形が不明な状況において、時間に依存するラグランジュ乗数が保存則の強制に果たす役割は何か。
• RQ4 遷移行列の対称性または詳細つり合いが、量子力学的ダイナミクスの出現に与える影響は何か。
• RQ5 保存量の数と平衡に近い状態が、シュレーディンガー方程式の記述を可能にする上で果たす意義は何か。

主な発見

• 遷移行列が対称的であるか、詳細つり合いを満たす場合、確率的ダイナミクスはシュレーディンガー方程式で記述可能である。
• 変分形式におけるラグランジュ乗数は、量子力学における位相と類似した役割を果たす。
• 導出は、系が平衡からあまり離れていないと仮定した場合に成立する。
• シュレーディンガー方程式の記述が出現するためには、保存量の数が多ければ多いほどよい。
• 変分的アプローチにより、制約付き確率的ダイナミクスが解ける作用に基づく枠組みに変換された。
• 定常エントロピー生成の原理は、隠れた保存則を有する長時間スケールのダイナミクスを一貫的かつ効果的にモデル化する手法を提供する。