[論文レビュー] Entropic relations for indistinguishable quantum particles

Marius Lemm|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Quantum many-body systems参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、量子情報的手法（特に量子相対エントロピーのモノトニシティ）を用いて、次元制約の下でフェルミオン系の2体状態に制限された密度行列のエントロピーがスレイター行列式によって最小化されることを証明している。k が任意の値を取り得るフェルミオン系におけるエンタングルメントの下界を改善し、Carlen, Lieb, Reuversの予想の漸近的形を確認している。一般化されたk体エントロピーの凹性およびモノトニシティの性質を確立している。

ABSTRACT

The von Neumann entropy of a $k$-body reduced density matrix $γ_k$ quantifies the entanglement between $k$ quantum particles and the remaining ones. In this short paper, we rigorously prove general properties of this entanglement entropy as a function of $k$: it is concave for all $1\leq k\leq N$ and non-decreasing until the midpoint $k\leq \lfloor N/2 floor$. The results hold for indistinguishable quantum particles and are independent of the statistics.

研究の動機と目的

• Carlen, Lieb, Reuvers (CLR) が提起した予想、すなわちフェルミオン状態の2体状態に制限された密度行列のエントロピーがスレイター行列式によって最小化されることを解明すること。
• k体状態に制限された密度行列のエントロピーの一般構造的性質（凹性およびモノトニシティ）を、k が任意の値を取り得る状況で確立すること。
• 特に量子相対エントロピーのモノトニシティを活用した量子情報理論的手法を用いて、S(γ₂) の既存の下界を改善すること。
• ヒルベルト空間の次元がやや小さい場合に、CLR 予想の漸近的形が成立することを確認すること。

提案手法

• 部分トレースに関する量子相対エントロピーのモノトニシティを用いて、k体状態に制限された密度行列のエントロピーを支配する不等式を導出する。
• 1体エントロピー最小化に関するColemanの定理（1963年）を応用し、2体状態への応用を図る。
• 対称性 $ S(\gamma_k) = S(\gamma_{N-k}) $ を用いて、系の粒子数分割におけるエントロピーを関連付ける。
• 恒等式 $ S_k = -D(\gamma_k \| \pi_k) + \log d_k $ を導出し、エントロピーを反対称部分空間上の最大混合状態との相対エントロピーで表現する。
• 恒等式 $ \mathrm{Tr}_{l+1,\ldots,m}[\pi_m] = \pi_{m-l} $ を用いて、異なる粒子数における最大混合状態の縮約状態を関連付ける。
• これらの恒等式と相対エントロピーのモノトニシティを組み合わせ、$ S(\gamma_2) $ の改善された下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン状態の2体状態に制限された密度行列のエントロピーは、Carlen, Lieb, Reuvers が予想したようにスレイター行列式によって最小化されるか？
• RQ2 フェルミオン純粋状態におけるk体状態に制限された密度行列のエントロピーは、k の関数としてどのように振る舞うか？
• RQ3 フェルミオン系において、すべてのkに対してk体エントロピーのモノトニシティおよび凹性が厳密に確立可能か？
• RQ4 量子情報理論的ツール（特に相対エントロピーのモノトニシティ）を用いて、$ S(\gamma_2) $ の下界をどの程度改善できるか？
• RQ5 CLR 予想の漸近的形が成立する条件は何か？

主な発見

• すべての $ 1 \leq k \leq N $ に対して、フェルミオン純粋状態におけるk体状態に制限された密度行列のエントロピー $ S(\gamma_k) $ はkに関して凹性を示す。これはフェルミオン純粋状態の一般構造的性質である。
• すべての $ 1 \leq k \leq \frac{N-1}{2} $ に対して、エントロピー $ S(\gamma_k) $ は非減少であり、粒子数の増加に伴いエンタングルメントが増加することを反映している。
• ヒルベルト空間次元dが $ d \leq 2N-3 $ を満たす場合、本論文はCLR予想の漸近的形を証明しており、$ S(\gamma_2) \geq S(\gamma_1) + \log\left(\frac{N-1}{d-N+2}\right) $ を示している。
• 最大混合状態の構造と量子相対エントロピーのモノトニシティを活用することで、$ S(\gamma_2) $ の下界は従来の結果を上回る改善がなされた。
• フェルミオン純粋状態のすべてのk体状態に制限された密度行列は、正のエントロピーを有する。これは、いかなるフェルミオン状態も完全に無エントロピー（非エンタングル）にはなり得ないことを意味する。
• 恒等式 $ S_k = -D(\gamma_k \| \pi_k) + \log d_k $ が成り立ち、エントロピーが反対称部分空間上の最大混合状態との相対エントロピーで表現される。