[論文レビュー] Entropic repulsion for the occupation-time field of Random interlacements conditioned on disconnection

Alberto Chiarini, Maximilian Nitzschner|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Z^d (d ≥ 3) 上のランダムインタラリューションの、大規模なボックスの境界からコンpaktoな集合Aの離散的拡大体の分離を条件とした際の、占有時間プロファイルの漸近的極値上界を確立する。妥当な臨界透過レベルの一致が成立する下で、分離を条件付けたことにより、エントロピック反発効果が生じ、局所的占有時間プロファイルが関数 (√u + (√u* − √u)h_A(x/N))² に比例する方向へ押し出される。ここで h_A は A の調和ポテンシャルである。これはガウス自由場で観察された類似のエントロピック反発現象を模倣しており、傾きを加えたインタラリューションが、分離を最適化する戦略として自然に出現することをさらに裏付けるものである。

ABSTRACT

We investigate percolation of the vacant set of random interlacements on $\mathbb{Z}^d$, $d\geq 3$, in the strongly percolative regime. We consider the event that the interlacement set at level $u$ disconnects the discrete blow-up of a compact set $A\subseteq \mathbb{R}^d$ from the boundary of an enclosing box. We derive asymptotic large deviation upper bounds on the probability that the local averages of the occupation times deviate from a specific function depending on the harmonic potential of $A$, when disconnection occurs. If certain critical levels coincide, which is plausible but open at the moment, these bounds imply that conditionally on disconnection, the occupation-time profile undergoes an entropic push governed by a specific function depending on $A$. Similar entropic repulsion phenomena conditioned on disconnection by level-sets of the discrete Gaussian free field on $\mathbb{Z}^d$, $d \geq 3$, have been obtained by the authors in arxiv:1808.09947. Our proofs rely crucially on the `solidification estimates' developed in arXiv:1706.07229 by A.-S. Sznitman and the second author.

研究の動機と目的

• Z^d (d ≥ 3) 上のランダムインタラリューションの占有時間場が、大規模なボックスの境界からコンパクト集合Aの離散的拡大体の分離を条件付けた際の挙動を分析すること。
• Aの調和ポテンシャルによって定まるプロファイルからの、局所的占有時間平均の逸脱に関する、漸近的極値上界を導出すること。
• 分離を条件付けた場合に、ガウス自由場で観察された現象と類似したエントロピックプッシュが、占有時間プロファイルに生じるかどうかを調査すること。
• 以前に分離確率の下界を構築するために用いられた傾きを加えたインタラリューションが、分離が発生する際の典型的な構成として自然に出現することを示すこと。

提案手法

• SznitmanとNitzschnerが[17]で開発した「固化推定」技術を用いて、摂動下での離散集合の容量を制御する漸近的極値上界を導出する。
• 空間的インタラリューション強度のプロファイルを調べるため、正規化された占有時間測度 LN,u = 1/N^d ∑_{x∈Z^d} Lx,u δ_{x/N} を導入する。
• Aの調和ポテンシャル h_A に基づくターゲットプロファイル Mu^A(x) = (√u + (√u* − √u)h_A(x))² と、経験的占有時間測度の間の距離 dR(LN,u, Mu^A) を定義する。
• カップリングの議論と、離散的およびブラウン運動的容量の比較を用いて、逸脱確率を制御する。
• 局所的に強度を u*∗ に増加させる傾きを加えたインタラリューションを用いた測度変換技術を適用し、分離メカニズムをモデル化する。
• 摂動およびスケーリング推定を用いて、離散的容量とその連続的埋め込みとの関係を、離散的およびブラウン運動的容量の比較によって確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト集合Aを大規模なボックスの境界から分離させることを条件付けた場合、ランダムインタラリューションの局所的占有時間プロファイルに体系的なシフトが生じるか？
• RQ2 以前に分離の最適戦略としてモデル化された傾きを加えたインタラリューションが、条件付けられた下で典型的な挙動として厳密に正当化できるか？
• RQ3 分離が発生する際の占有時間プロファイルの漸近的挙動は何か？ また、その挙動は集合Aの調和ポテンシャルにどのように依存するか？
• RQ4 臨界透過レベル u, u*, u** にどのような条件下で、エントロピック反発効果が定量的に正確になるか？
• RQ5 ターゲットプロファイル Mu^A からの占有時間プロファイルの逸脱コストは、分離事象の極値率と一貫しているか？

主な発見

• 本稿は漸近的極値上界を確立する：lim sup_N (1/N^{d-2}) log P[dR(LN,u, Mu^A) ≥ Δ; Du_N] ≤ −1/d(√u* − √u)^2 cap(˚A) − c1(Δ, R, A, u) であり、c1(Δ, R, A, u) ∼ c2(Δ, R, A)√u (u → 0 のとき) となる。
• 臨界レベルが u = u* = u** かつ cap(A) = cap(˚A) を満たす場合、N → ∞ のとき条件付き占有時間測度 LN,u は Mu^A に法的に収束する。これはエントロピック反発による決定的シフトを示している。
• エントロピック反発効果は、局所的な占有時間プロファイルの増加として現れ、(√u + (√u* − √u)h_A(x/N))² に近づく。これはAの近傍でより高い有効インタラリューション強度に対応する。
• ターゲットプロファイル Mu^A からの逸脱コストは、u → 0 のとき消える項によって定量的に下から抑えられ、これは傾きを加えたインタラリューション戦略が希少事象の領域で最適になるという考えに整合する。
• ガウス自由場におけるエントロピック反発とランダムインタラリューションにおけるエントロピック反発の類似性を拡張し、希少な分離事象に条件付けられた際の普遍的メカニズムを示唆している。
• 証明は、特に cap(Γ(r))/cap(Γ) の一様な上界が (1 ± δK,L)(1 ± 2r)^{d−2} のスケーリングをとることに強く依存しており、固化推定と離散的・ブラウン運動的容量の比較が中心的役割を果たす。