[論文レビュー] Entropy along expanding foliations

Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、微分同相写像のC¹摂動、不変測度（弱*位相）、およびfoliationに関して、拡大foliationに沿った部分エントロピーの上半連続性を確立する。不変foliationに沿う測度的エントロピーが上半連続に変化することを証明し、主要な結果を導く：Gibbs u状態の集合はC¹位相において上半連続であり、中心方向がほとんど拡大または収縮する部分的双曲的微分同相写像はC¹で開であり、非ゼロ中心指数を有する新たなC²体積保存型微分同相写像のロバストなトランジティビティが構成される。

ABSTRACT

The (measure-theoretical) entropy of a diffeomorphism along an expanding invariant foliation is the rate of complexity generated by the diffeomorphism along the leaves of the foliation. We prove that this number varies upper semi-continuously with the diffeomorphism ($\C^1$ topology), the invariant measure (weak* topology) and the foliation itself in a suitable sense. This has several important consequences. For one thing, it implies that the set of Gibbs $u$-states of $\C^{1+}$ partially hyperbolic diffeomorphisms is an upper semi-continuous function of the map in the $\C^1$ topology. Another consequence is that the sets of partially hyperbolic diffeomorphisms with mostly contracting or mostly expanding center are $\C^1$ open. New examples of partially hyperbolic diffeomorphisms with mostly expanding center are provided, and the existence of physical measures for $C^1$ residual subset of diffeomorphisms are discussed. We also provide a new class of robustly transitive diffeomorphisms: every $C^2$ volume preserving, accessible partially hyperbolic diffeomorphism with one dimensional center and non-vanishing center exponent is $C^1$ robustly transitive (among neighborhood of diffeomorphisms which are not necessarily volume preserving).

研究の動機と目的

• 微分同相写像のC¹摂動、不変測度（弱*位相）、およびfoliationに関して、拡大foliationに沿った測度的エントロピーの上半連続性を確立すること。
• 不変拡大foliationを有する部分的双曲的系の文脈において、部分エントロピーの正則性を分析すること。
• 正則性結果を応用して、中心方向がほとんど拡大または収縮する微分同相写像の集合の開性を証明すること。
• 非ゼロ中心指数を有するC²体積保存型可アクセス部分的双曲的微分同相写像について、ロバストなトランジティビティを確立すること。
• 中心方向がほとんど拡大である部分的双曲的微分同相写像の新たな例を提示し、C¹残渣的微分同相写像における物理的測度の性質を議論すること。

提案手法

• 下位の可測分割の理論を用いて、拡大foliationに沿った部分エントロピーを定義・分析する。
• 次元論およびPesinのエントロピー公式を適用し、葉上での測度的複雑性の増加を制御する。
• 不変測度の弱*収束および微分同相写像のC¹収束を用いて、エントロピーの上半連続性を確立する。
• 不安定葉に沿った絶対連続分解を持つGibbs u状態の概念を用い、エントロピー正則性と統計的性質の関連を結ぶ。
• Pesin理論における補題（補題A.1）の修正版を用いて、小さな球上での測度の減衰を制御し、良好な分割の構成を可能にする。
• エントロピー正則性をエルゴディック分解および盆地の議論と組み合わせ、中心方向が拡大でない場合の矛盾を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分同相写像のC¹摂動に関して、拡大foliationに沿った部分エントロピーは上半連続に変化するか？
• RQ2 C¹+部分的双曲的微分同相写像に関して、Gibbs u状態の集合はC¹位相で上半連続か？
• RQ3 C¹微分同相写像のうち、中心方向がほとんど収縮またはほとんど拡大であるものの集合は開か？
• RQ4 中心方向がほとんど拡大である部分的双曲的微分同相写像の新たな例を構成できるか？
• RQ5 C¹残渣的微分同相写像は物理的測度を有するか？また、この文脈において部分エントロピーの役割は何か？

主な発見

• 拡大foliationに沿った部分エントロピーは、微分同相写像のC¹収束、不変測度の弱*収束、および定義2.2の意味でのfoliation収束に関して上半連続である。
• C¹+部分的双曲的微分同相写像のGibbs u状態の集合は、C¹位相において上半連続である。
• C¹微分同相写像のうち、中心方向がほとんど収縮またはほとんど拡大であるものの集合は、C¹位相において開である。
• 中心方向がほとんど拡大である部分的双曲的微分同相写像の新たな例が構成され、既知のクラスが拡張される。
• 1次元中心を有するC²体積保存型可アクセス部分的双曲的微分同相写像で中心指数が非ゼロであるものは、近傍での体積保存性を仮定しなくてもC¹でロバストにトランジティブである。
• エントロピー正則性およびエルゴディック分解の議論の結果、C¹残渣的微分同相写像の集合において物理的測度が存在する。