[論文レビュー] Entropy and drift for word metric on relatively hyperbolic groups

Matthieu Dussaule, Ilya Gekhtman|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非自明な相対的双曲的群上の有限超指数的モーメントをもつ許容的ランダムウォークについて、群が可換性をもつパラボリック部分群（ランクが2以上）をもつ、球面的Bowditch境界をもつ、または可換性をもつ部分群をもつ自由積である場合、Guivarc’hの不等式 $ h \leq lv $ が常に厳密である（$ h < lv $）ことを確立する。主な結果は、Guivarc’h不等式における等号が成り立つと、グリーン距離が語距離とおおよそ同値であることを示し、これによりグリーンドリフトに離散構造が生じ、境界の連結性に矛盾を引き起こす。特に、境界から2点を除いたときに非連結になる場合にそのような矛盾が生じる。

ABSTRACT

We are interested in the Guivarc'h inequality for admissible random walks on finitely generated relatively hyperbolic groups, endowed with a word metric. We show that for random walks with finite super-exponential moment, if this inequality is an equality, then the Green distance is roughly similar to the word distance, generalizing results of Blach{è}re, Ha{ï}ssinsky and Mathieu for hyperbolic groups [4]. Our main application is for relatively hyperbolic groups with respect to virtually abelian subgroups of rank at least 2. We show that for such groups, the Guivarc'h inequality with respect to a word distance and a finitely supported random walk is always strict.

研究の動機と目的

• 相対的双曲的群上のランダムウォークにおけるGuivarc’h不等式 $ h \leq lv $ が厳密である条件を特定すること。
• Guivarc’h不等式における等号がもつ幾何的意味、特にグリーン距離と語距離の関係を調査すること。
• グリーンドリフトが離散的になる条件を確立し、境界構造における位相的矛盾を引き起こすこと。
• 双曲的群に成立する結果を、パラボリック部分群や球面的境界をもつ相対的双曲的群の広いクラスへと拡張すること。

提案手法

• 有限生成の相対的双曲的群上のランダムウォークの漸近的挙動を、語距離とグリーン距離を用いて分析する。
• 条件 $ h = lv $ を用いて、グリーン距離 $ d_G $ が語距離 $ d_w $ とおおよそ同値である、すなわちある定数 $ C $ に対して $ |d_G - v d_w| \leq C $ が成り立つことを導出する。
• 境界上の交比を用いて、$ h = lv $ ならば任意の4つの錐状極限点の交比が離散集合 $ \mathrm{e}^{\alpha_G \mathbb{N}} $ に属することを示す。
• 境界の位相的性質を応用：2つの錐状極限点を除いた境界が有限個の連結成分に分かれている場合、交比の連続性と離散性の対比により矛盾が生じる。
• loxodromicな要素の境界への作用を用いて、交比が連結成分上で一定でなければならないことを示し、値が異なる（例：1 と 1未満）場合に矛盾を引き起こす。
• 特定のクラスに適用：ランク $ \geq 2 $ の可換性をもつパラボリック部分群をもつ群、球面的Bowditch境界（次元 $ \geq 2 $）をもつ群、可換性をもつ部分群をもつ自由積。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的双曲的群において、Guivarc’h不等式 $ h \leq lv $ が厳密である条件は何か？
• RQ2 Guivarc’h不等式における等号 $ h = lv $ が成立する場合、どのような幾何的結果が生じるか？
• RQ3 境界の構造（例：2点を除いたときの連結性）は、グリーンドリフトの可能な値にどのような制約を課えるか？
• RQ4 Guivarc’h不等式における等号下で生じるグリーンドリフトの離散性が、境界の位相的矛盾を引き起こすか？

主な発見

• ランクが2以上の可換性をもつパラボリック部分群をもつ相対的双曲的群では、Guivarc’h不等式は常に厳密である：$ h < lv $。
• 球面的Bowditch境界（次元 $ \geq 2 $）をもつ相対的双曲的群では、境界から2点を除いたときの位相的連結性により、Guivarc’h不等式は常に厳密である。
• 少なくとも1つの可換性をもつ部分群をもつ自由積では、有限超指数的モーメントの下で、Guivarc’h不等式は常に厳密である。
• もし $ h = lv $ ならば、グリーン距離 $ d_G $ は語距離 $ d_w $ とおおよそ同値である。すなわち、ある定数 $ C $ に対して $ |d_G - v d_w| \leq C $ が成り立つ。
• $ h = lv $ の下で、任意のloxodromicな要素 $ g $ のグリーンドリフト $ l^G(g) $ は離散集合 $ \alpha_G \mathbb{N} $ に属し、ドリフトが量子化されていることを示す。
• 境界 $ \partial\hat{\Gamma} \setminus \{\xi_1, \xi_2\} $ が有限個の連結成分に分かれているという仮定は、$ h = lv $ の下で、交比の連続性とその離散的像との対比により矛盾を引き起こす。