[論文レビュー] Entropy and Emergence of Topological Dynamical Systems

Yong Gu Ji, Ercai Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、確率測度の空間およびコンパクト部分集合の超空間上の誘導された位相的力学系におけるエントロピー順序の概念を導入し、元の系の位相的エントロピーに等しいことを証明する。不変測度のエントロピー順序と測度的エントロピーの間の変分原理を確立し、誘導された系の複雑さが元の系の力学的性質を定量的に反映することを示す。

ABSTRACT

A topological dynamical system $(X,f)$ induces two natural systems, one is on the probability measure spaces and other one is on the hyperspace. We introduce a concept for these two spaces, which is called entropy order, and prove that it coincides with topological entropy of $(X,f)$. We also consider the entropy order of an invariant measure and a variational principle is established.

研究の動機と目的

• ボレル確率測度の空間およびコンパクト部分集合の超空間上の誘導系のエントロピー順序を定義・分析すること。
• 不変測度のエントロピー順序とその測度的エントロピーの間の変分原理を確立すること。
• 元の系の複雑さとその誘導系の複雑さの定量的関係、特に位相的エントロピーの観点から明確化すること。
• 誘導系のエントロピー順序が、元の系の位相的エントロピーに正確に一致することを示し、従来の定性的研究におけるギャップを解消すること。

提案手法

• エルゴード的不変測度の弱*-位相におけるε-球による被覆に必要な最小数の増加率として、系のエントロピー順序を定義する。
• 先行研究における測度的発現および位相的発現の概念を用いて、𝒫(X)および𝒦(X)上の誘導系のエントロピー順序を定義する。
• 位相的エントロピーの変分原理を応用し、不変測度のエントロピー順序とその測度論的エントロピーの関係を関連付ける。
• エルゴード理論の結果、特にエルゴード分解定理および最大次元をもつ不変測度の性質を活用する。
• 周期点および軌道集合を用いた分離および被覆の議論により、エントロピー順序の下界を評価する。
• 力学系理論および次元論の結果を活用し、動的システムの上界と下界を導出することで、エントロピー順序と位相的エントロピーの等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率測度空間上の誘導系のエントロピー順序は、元の系の位相的エントロピーとどのように関係するか？
• RQ2 不変測度のエントロピー順序とその測度的エントロピーとの間に変分原理を確立できるか？
• RQ3 超空間上の誘導系のエントロピー順序と元の系の位相的エントロピーの関係は何か？
• RQ4 共形的拡張力学系や正エントロピー系のような条件下で、エントロピー順序はどのように振る舞うか？
• RQ5 誘導系のエントロピー順序は、元の力学系の内在的複雑さをどの程度正確に反映するか？

主な発見

• 確率測度空間上の誘導系のエントロピー順序 ℰ(f_M) は、元の系の位相的エントロピーに等しい：ℰ(f_M) = h_top(X,f)。
• 超空間上の誘導系のエントロピー順序 ℰ(f_K) も、元の系の位相的エントロピーに等しい：ℰ(f_K) = h_top(X,f)。
• 変分原理が確立された：不変測度 μ のエントロピー順序は、その測度的エントロピーに等しい、すなわち ℰ(μ) = h_μ。
• ボックス次元が b である共形的拡張再帰集合 Λ に対して、𝒦(Λ) 上の誘導系のエントロピー順序は、lim_{ε→0} log log N(ε) / (-log ε) = b を満たす。
• 指定性をもつ m 個の記号からなるフルシフトの場合、典型的な軌道の点ごとのエントロピー順序は、位相的エントロピーと等しい割合で増加する。
• 超空間上の誘導系のエントロピー順序は、元の集合のボックス次元によって上界で抑えられ、特に共形的拡張系ではこの上界が達成可能である。