[論文レビュー] Entropy and its variational principle for noncompact metric spaces

Mauro Patrão|ArXiv.org|Apr 26, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、適切な被覆を用いて非コンパクトな距離空間に対する新しい位相的エントロピーの定義を導入し、位相的エントロピーが測度論的エントロピーの上界と計量論的エントロピーの下界に等しいことを示す変分原理を証明する。主な結果は、単連結な可解的リー群上の自己同型の位相的エントロピーが消えることであり、これは古典的な $d$-エントロピーの公式が正確な値ではなく、上限にすぎないことを示している。

ABSTRACT

In the present paper, we introduce a natural extension of AKM-topological entropy for noncompact spaces and prove a variational principle which states that the topological entropy, the supremum of the measure theoretical entropies and the minimum of the metric theoretical entropies always coincide. We apply the variational principle to show that the topological entropy of automorphisms of simply connected nilpotent Lie groups always vanishes. This shows that the classical formula for the entropy of an automorphism of a noncompact Lie group is just an upper bound for its topological entropy.

研究の動機と目的

• 適切な被覆を用いて、AKM-位相的エントロピーを非コンパクトな距離空間へ拡張すること。
• 位相的エントロピーが測度論的エントロピーの上界と計量論的エントロピーの下界に等しいことを示す変分原理を確立すること。
• 非コンパクトなリー群における古典的な $d$-エントロピーの公式と実際の位相的エントロピーとの乖離を解消すること。
• 単連結な可解的リー群上の自己同型の正確な位相的エントロピーを特定すること。

提案手法

• 各集合またはその補集合がコンパクトな閉包を持つような有限開被覆を適切な被覆と定義する。
• 位相的エントロピーを $ h(T) = \sup_{\alpha} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log N(\alpha^n) $ として定義する。ここで $ N(\alpha^n) $ は $ \alpha^n $ の部分被覆に含まれる集合の最小数を表す。
• 変分原理を証明する：$ h(T) = \sup_{\mu} h_\mu(T) = \inf_d h_d(T) $。ここで $ d $ は適切な計量を走査する。
• 適切な半同型写像を用いて、異なる力学系間のエントロピーを比較する。
• 有限次元ベクトル空間上の線形写像を解析するために乗法的ジョルダン分解を適用する。
• 単連結な可解的リー群において指数写像が微分同相写像である性質を活用し、自己同型をその微分に共役化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな距離空間に対して、AKM定義を一般化する一貫した位相的エントロピーの定義が存在するか？
• RQ2 非コンパクトな設定において、位相的エントロピー、測度論的エントロピー、計量論的エントロピーを統合する変分原理を確立できるか？
• RQ3 線形写像の $d$-エントロピーに対する古典的公式 $ h_d(T) = \sum_{|\lambda|>1} \log|\lambda| $ は、位相的エントロピーの上限としての役割を果たすか、それとも正確な値か？
• RQ4 単連結な可解的リー群上の自己同型の位相的エントロピーは何か？
• RQ5 線形写像の再帰的集合は、その乗法的ジョルダン分解を用いて特徴付けられるか？

主な発見

• 有限次元ベクトル空間上の線形同型写像の位相的エントロピーは、古典的な $d$-エントロピーの公式が示唆するのとは異なり、常にゼロである。
• 線形写像 $ T $ の再帰的集合は、その双曲的成分とユニポテンツ成分の固定点集合の共通部分に正確に一致する：$ R(T) = \text{fix}(T_H) \cap \text{fix}(T_U) $。
• 単連結な可解的リー群上の自己同型の位相的エントロピーは恒等的にゼロである。
• 古典的公式 $ h_d(\phi) = \sum_{|\lambda|>1} \log|\lambda| $ は、真の位相的エントロピーの上限を与えるにすぎず、正確な値ではない。
• 変分原理は等号として成立する：$ h(T) = \sup_{\mu} h_\mu(T) = \inf_d h_d(T) $。ここで下界は適切な計量の範囲で達成される。
• 円周 $ S^1 $ 上の二乗写像のエントロピーは $ \log 2 > 0 $ であるが、これは結果と矛盾しない。なぜなら $ \pi: \mathbb{R} \to S^1 $ は正則写像でないため、エントロピーの比較が成立しないからである。