[論文レビュー] Entropy and optimal decompositions of states relative to a maximal commutative subalgebra

Armin Uhlmann|ArXiv.org|Apr 8, 1997

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 3被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、有限次元量子系における最大可換部分代数に関するエントロピーを計算するための新規なアプローチを提示する。凸解析と対称性を用いて、量子もつれの形成に中心的な役割を果たす最適分解問題を解く。主な貢献は、凸および凹のルーフを用いた部分代数のエントロピーの厳密な特徴付けであり、全行列代数の対角的部分代数に対して明示的な解が得られる。

ABSTRACT

To calculate the entropy of a subalgebra or of a channel with respect to a state, one has to solve an intriguing optimalization problem. The latter is also the key part in the entanglement of formation concept, in which case the subalgebra is a subfactor. I consider some general properties, valid for these definitions in finite dimensions, and apply them to a maximal commutative subalgebra of a full matrix algebra. The main method is an interplay between convexity and symmetry. A collection of helpful tools from convex analysis for the problems in question is collected in an appendix.

研究の動機と目的

• 状態に関して部分代数のエントロピーの背後にある最適分解問題を解く。
• 有限次元∗-代数におけるエントロピーおよび相対エントロピーの一般的性質を確立する。
• これらの結果を、全行列代数の最大可換部分代数に特に適用する。
• 最適分解を特徴付けるために凸および凹のルーフの役割を明確にする。
• 形式的枠組みをもつれの形成および量子情報理論に結びつける。

提案手法

• 状態に関する部分代数のエントロピーを分析するために、凸解析と対称性を用いる。
• Carathéodoryの定理を適用して、最適な凸分解の長さが状態空間の次元nで抑えられることを示す。
• 極小状態に制限されたフォン・ノイマンエントロピーの凸包および凹包を定義する。
• 最適分解を特徴付けるために、それぞれ凸ルーフおよび凹ルーフとしてのf^infとf^supの概念を導入する。
• f^infおよびf^supがルーフであり、それぞれの凸包Ω^inf_ωおよびΩ^sup_ω上でアフィンであることを確立する。
• f^sup(ω) = f^inf(ω)であることは、ωがエントロピーがアフィンである面にあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元量子系において、状態に関して部分代数のエントロピーはどのように計算できるか？
• RQ2 エントロピー寄与を最小化または最大化する状態の最適凸分解の構造は何か？
• RQ3 部分代数のエントロピーが消える条件は何か？ これは状態およびその分解に何を意味するか？
• RQ4 凸および凹のルーフは、最適分解問題およびもつれ測度とどのように関係するか？
• RQ5 状態分解の文脈において、f^sup(ω) = f^inf(ω)の等式の幾何学的・代数的意味は何か？

主な発見

• エントロピーH_ω(B|A)は、制限状態のフォン・ノイマンエントロピーと、極小分解上のエントロピーの凸包との差として与えられる。
• Carathéodoryの定理により、ヒルベルト空間の次元nのおかげで、エントロピー関数に対する最適分解の長さはnで抑えられる。
• 関数f^infはf^supの凸包であり、両者ともルーフであり、それぞれの凸包Ω^inf_ωおよびΩ^sup_ω上でアフィンである。
• f^sup(ω) = f^inf(ω)であるとき、状態ωは状態空間の面にあり、その面上でエントロピーはアフィンである。
• 等式f^sup(ω) = f^inf(ω)は、ωのすべての極小分解が、凸および凹ルーフ関数の両方に対して最適であることを示唆する。
• 形式的枠組みは、とくに2キュービットの場合に、Woottersの知られている結果と一致するため、もつれの形成に厳密な基礎を提供する。