[論文レビュー] Entropy-bounded solutions to the compressible Navier-Stokes equations: with far field vacuum

Jinkai Li, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、遠方境界での真空中にのみ真空が存在する状況下で、有界エントロピーを伴う1次元完全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する強い解の局所的・大域的解の存在および一意性を確立する。初期密度が十分にゆっくりと減衰する場合、エントロピーが一様に有界のまま保たれることを示し、非一様ソボレフ空間への正則性伝播を、遠方境界での真空中でさえも拡張する。

ABSTRACT

The entropy is one of the fundamental states of a fluid and, in the viscous case, the equation that it satisfies is highly singular in the region close to the vacuum. In spite of its importance in the gas dynamics, the mathematical analyses on the behavior of the entropy near the vacuum region, were rarely carried out; in particular, in the presence of vacuum, either at the far field or at some isolated interior points, it was unknown if the entropy remains its boundedness. The results obtained in this paper indicate that the ideal gases retain their uniform boundedness of the entropy, locally or globally in time, if the vacuum occurs at the far field only and the density decays slowly enough at the far field. Precisely, we consider the Cauchy problem to the one-dimensional full compressible Navier-Stokes equations without heat conduction, and establish the local and global existence and uniqueness of entropy-bounded solutions, in the presence of vacuum at the far field only. It is also shown that, different from the case that with compactly supported initial density, the compressible Navier-Stokes equations, with slowly decaying initial density, can propagate the regularities in the inhomogeneous Sobolev spaces.

研究の動機と目的

• 粘性圧縮流体の流れにおいて、真空中に近接する領域でエントロピーが有界のまま保たれるかどうかという長年の未解決問題に取り組むこと。
• 空間無限遠における密度の緩やかな減衰を伴う真空中におけるエントロピーの挙動を分析すること。
• 1次元完全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、有界エントロピーを伴う強い解の存在および一意性を確立すること。
• 初期密度がコンパクトな台を持たず、緩やかに減衰する場合に、非一様ソボレフ空間における正則性伝播の仕組みを解明すること。
• 特に遠方境界での真空中を伴う状況において、初期データがコンパクトな台を持たない場合の強い解の理論を拡張すること。

提案手法

• 熱伝導なしの1次元完全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のコーシー問題を定式化すること。
• ギブスの関係式とフォアイヤーの法則から導かれるエントロピー方程式を用いて、特に真空中におけるエントロピーの時間発展を追跡すること。
• 初期密度を含む重みを用いた非一様ソボレフ空間におけるエネルギー推定を用いて特異性を制御すること。
• エネルギー推定とグローヴァル型不等式を用いて、エントロピーおよびその微分の事前推定を確立すること。
• 局所的解の存在と一様有界性に基づく継続的議論を用いて、解の大域的時間延長を実現すること。
• エントロピーの有界性を用いたブートストラップ議論により、非一様ソボレフノルムにおける正則性伝播を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遠方境界での真空中にのみ真空が存在する場合、圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解においてエントロピーが時間的に一様に有界に保たれるか。
• RQ2 初期密度の減衰率が時間的エントロピー有界性を保証するための条件は何か。
• RQ3 遠方境界での真空中が、非一様ソボレフ空間における正則性伝播を妨げるか。
• RQ4 エントロピー方程式の構造が、真空中における解の長期的挙動にどのように影響を与えるか。
• RQ5 初期密度の緩やかな減衰を伴う完全圧縮性ナビエ＝ストークス系に対して、有界エントロピーを伴う大域的強い解を構成可能か。

主な発見

• 初期密度が空間無限遠で十分にゆっくりと減衰する場合、遠方境界での真空中であっても、エントロピーが時間的に一様に有界に保たれる。
• これらの条件下で、1次元完全圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、有界エントロピーを伴う大域的かつ一意的な強い解の存在が確立された。
• 初期密度が非コンパクトな台を持ち、緩やかに減衰する場合でも、解は非一様ソボレフ空間において正則性を伝播する。
• エントロピーの有界性は、エントロピー方程式と初期密度の緩やかな減衰の相乗作用により保たれ、エントロピー勾配の爆発を防ぐ。
• 初期密度を含む重み付きノルムにおける事前推定により、解の正則性が保たれ、時間の大域的延長が可能となる。
• 解の大域的延長は、エントロピーおよびその微分の一様有界性に基づく継続的議論に依拠しており、有限時間爆発の仮定と矛盾する。