[論文レビュー] Entropy-bounded solutions to the one-dimensional heat conductive compressible Navier-Stokes equations with far field vacuum

Jinkai Li, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、空間無限遠で真空が存在する一次元熱伝導性圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、強解の大域的存在および一意性を確立し、初期密度が $ O(1/x^2) $ より速く減少しない場合に、すべての時間においてエントロピーが一様に有界であることを証明する。主な革新点は、エントロピーの境界を支配する退化放物型方程式に適応した特異的重み付きエネルギー推定と、デ・ジョルジ型反復技法の応用にある。

ABSTRACT

In the presence of vacuum, the physical entropy for polytropic gases behaves singularly and it is thus a challenge to study its dynamics. It is shown in this paper that the boundedness of the entropy can be propagated up to any finite time provided that the initial vacuum presents only at far fields with sufficiently slow decay of the initial density. More precisely, for the Cauchy problem of the one dimensional heat conductive compressible Navier-Stokes equations, the global well-posedness of strong solutions and uniform boundedness of the corresponding entropy are established, as long as the initial density vanishes only at far fields with a rate no more than $O(\frac{1}{x^2})$. The main tools of proving the uniform boundedness of the entropy are some singularly weighted energy estimates carefully designed for the heat conductive compressible Navier-Stokes equations and an elaborate De Giorgi type iteration technique for some classes of degenerate parabolic equations. The De Giorgi type iterations are carried out to different equations in establishing the lower and upper bounds of the entropy.

研究の動機と目的

• 初期密度が空間無限遠でのみ消える場合に、一次元熱伝導性圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の強解の大域的適切性を確立すること。
• 通常エントロピーが特異的になる可能性がある遠方真空を伴う状況において、エントロピーの有界性の伝播を調査すること。
• 真空に起因する系の退化を克服するために、新規の特異的重み付きエネルギー推定を構築すること。
• デ・ジョルジ反復技法を異なる退化放物型方程式に拡張し、同時にエントロピーの上界と下界を制御すること。
• 初期密度が $ O(1/x^2) $ より速く減少しない場合に、時間にわたってエントロピーが一様に有界のまま保たれることを示すこと。

提案手法

• 熱伝導性圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に特化した特異的重み付きエネルギー推定を導出し、特に真空近傍の退化に対処すること。
• 退化放物型方程式の構造に適合させたデ・ジョルジ型反復スキームを適用し、エントロピーの点ごとの境界を確立すること。
• 反復プロセスの根幹をなす方程式として、エントロピーの時間発展を記述する方程式 $ ho(s_t + us_x) - rac{ heta_x}{ heta}_x = rac{1}{ heta}( heta_x^2 + heta |u_x|^2) $ を使用すること。
• 二段階のデ・ジョルジ反復を実施：一つは $ heta $ の下界の制御、もう一つは上界の制御であり、エントロピーの正則性を保証すること。
• 初期密度 $ ho_0 o 0 $ が $ |x| o ty $ で成立するのを活用し、$ heta_{ar{ ho}_0 + d} $ の列を構築して $ heta $ の成長を制御すること。
• エネルギー推定 $ Q_ ho o 0 $ が $ ho o ar{ ho}_0 + d $ のとき成立し、これにより $ heta $ が一様に有界となり、結果としてエントロピー $ s $ も一様に有界であることを導くこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度が空間無限遠でのみ消える場合に、一次元熱伝導性圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の強解が大域的に存在可能か？
• RQ2 遠方真空を伴う状況で、初期密度のどの程度の減少率の下で、エントロピーがすべての時間にわたって一様に有界に保たれるか？
• RQ3 デ・ジョルジ反復技法を、退化放物型系における温度およびエントロピーの上界と下界を同時に制御するために適応可能か？
• RQ4 密度が無限遠でゼロに近づく場合の系の退化に対処するために、どのような特異的エネルギー推定が必要か？
• RQ5 真空が無限遠でのみ存在する場合に、初期データから出発して、有限時間すべてにわたりエントロピーの有界性を伝播させることは可能か？

主な発見

• 初期密度が $ O(1/x^2) $ より速く減少しない限り、空間無限遠に真空を有する一次元熱伝導性圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、強解が大域的に存在する。
• エントロピーは時間にわたって一様に有界であり、$ ar{ ho}_0 $、$ ar{J}_T $、$ ar{M}_T $、および $ ar{ ho}_0 + d $ に依存する明示的な上界が存在する。ここで $ d $ は初期データと時間 $ T $ に依存する有限定数である。
• エントロピーの有界性は、$ heta $ を支配する退化放物型方程式に特化した新規のデ・ジョルジ型反復により達成され、下界と上界の両方が保証される。
• 低密度領域における $ heta $ と $ u_x $ の成長を制御するために、特異的重み付きエネルギー推定を構築し、一様有界性の証明を可能にした。
• 本研究は、密度が無限遠でゆっくり減少する場合に、均質空間および非均質空間の両方において、適切性とエントロピー有界性が成立することを示し、既存の結果を拡張した。
• 証明により、反復過程で $ f( ho_0 + d) = 0 $ が成立することが示され、これは $ heta $ が点ごとに有界であることを意味し、結果として一様なエントロピー制御が得られることを示している。