[論文レビュー] Entropy density of spacetime and thermodynamic interpretation of field equations of gravity in any diffeomorphism invariant theory

Τ. Padmanabhan|ArXiv.org|Mar 6, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、任意の微分同相変換不変な重力理論の場の運動方程式が、任意の時空事象の近傍でRindler枠を用い、ノンター電流を局所的エントロピー密度として特定することにより、局所的熱力学的恒等式 $TdS = dE$ として表現可能であると提唱する。主な結果は、このような理論に対して、エントロピーがノンター電荷から導かれるという熱力学的解釈が普遍的に成立することであり、Lanczos-Lovelock理論へは、$\mathcal{L} \propto P^{abcd}\nabla_c n_a \nabla_d n_b$ に比例する一般化されたエントロピー密度を介して拡張可能である。この枠組みにより、微分同相変換不変理論全般にわたる重力の統一的熱力学的解釈が得られる。

ABSTRACT

I argue that the field equations of any theory of gravity which is diffeomorphism invariant must be expressible as a thermodynamic identity, TdS=dE around any event in the spacetime. This fact can be demonstrated explicitly (and rather easily) if: (a) one accepts the Noether current of the theory as providing the definition for local entropy density and (b) one is allowed to introduce the local notions of a Rindler frame, acceleration horizon and a Killing vector (related to translation in Rindler time) around any event. It is conceptually incorrect - in general - to invert this argument and obtain the field equations of the theory from the thermodynamic identity. I discuss under what conditions this may be possible. Several subtleties related to these arguments are described.

研究の動機と目的

• 任意の微分同相変換不変重力理論の場の運動方程式が、任意の時空事象の周囲で局所的熱力学的恒等式 $TdS = dE$ として表現可能であることを確立すること。
• ノンター電流から導かれるワルドエントロピーが、この熱力学的解釈に適切な局所的エントロピー密度を提供することを示すこと。
• 熱力学的恒等式が、場の運動方程式の導出ではなく、微分同相変換不変性とホライズンの存在に起因することを主張すること。
• 局所的熱力学を曲がった時空で定義する際のRindlerホライズンおよび局所的キリングベクトルの概念的役割を明確にすること。
• Lanczos-Lovelock理論へこの熱力学的枠組みを一般化し、$\mathcal{L} \propto P^{abcd}\nabla_c n_a \nabla_d n_b$ に比例する一般化されたエントロピー密度を定義すること。

提案手法

• 微分同相変換不変性に付随するノンター電流 $J^a$ を用い、$S_{\text{Wald}} = \beta \int d^{D-2}\Sigma_{ab} J^{ab}$ で定義される局所的エントロピー密度を導出する。ここで $\beta = 2\pi / \kappa$ であり、$\kappa$ は表面重力である。
• 任意の時空事象の周囲に局所的Rindler枠を導入する。加速 $\kappa$ を用い、局所的ホライズンを生成し、局所的温度 $T = \kappa / 2\pi$ を定義する。
• 局所的Rindler枠において熱力学的恒等式 $TdS = dE$ を適用する。ここで $dE$ はホライズンを通過するエネルギーフラックス、$dS$ はワルドエントロピーの変化である。
• 作用原理 $\mathcal{A} \propto \int d^Dx \sqrt{-g} [2E_{ab} - T_{ab}] n^a n^b$ を用い、すべての光的ベクトル $n_a$ について変分することで、運動方程式を導出する。
• Lanczos-Lovelock理論への一般化として、重力的エントロピー密度を $\mathcal{L} \propto P^{abcd} \nabla_c n_a \nabla_d n_b$ に比例する形で定義する。ここで $P^{abcd} = \partial L / \partial R_{abcd}$ である。
• ホライズン上でのノンターに基づくエントロピー密度 $\xi_a J^a$ が、全微分項を除いて一般化されたエントロピー密度 $\mathcal{L}$ と一致することを示し、アインシュタイン理論およびLanczos-Lovelock理論における一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の微分同相変換不変重力理論の場の運動方程式は、任意の時空事象の周囲で局所的熱力学的恒等式 $TdS = dE$ として表現可能か？
• RQ2 ノンター電流から導かれるワルドエントロピーは、このような熱力学的解釈に適切な局所的エントロピー密度か？
• RQ3 場の運動方程式が熱力学的恒等式から導かれるのではなく、逆にその恒等式が成立する条件は何か？
• RQ4 局所的Rindlerホライズンの構成は、曲がった時空におけるグローバルホライズン構造とどのように関係するか。また、その限界は何か？
• RQ5 Lanczos-Lovelock理論における一般化されたエントロピー密度は、独立に物理的エントロピー密度として正当化可能か。また、ノンター電流とはどのように関係するか？

主な発見

• 任意の微分同相変換不変重力理論の場の運動方程式は、ノンター電流によって定義されるワルドエントロピーを局所的エントロピー密度として用いることで、任意の時空事象の周囲で局所的熱力学的恒等式 $TdS = dE$ として表現可能である。
• 加速 $\kappa$ でブーストする局所的Rindler観測者にはホライズンが生じ、このホライズン上では熱力学的恒等式 $TdS = dE$ が成り立つ。ここで $T = \kappa / 2\pi$ かつ $dS = dS_{\text{Wald}}$ である。このことは、熱力学的解釈の普遍性を確認する。
• ワルドエントロピー $S_{\text{Wald}} = \beta \int d^{D-2}\Sigma_{ab} J^{ab}$ は、任意の微分同相変換不変理論において、オンシェル解に対して $TdS = dE$ を満たす唯一のエントロピー関数的である。
• Lanczos-Lovelock理論では、重力的エントロピー密度を $\mathcal{L} \propto P^{abcd} \nabla_c n_a \nabla_d n_b$ として定義でき、これはホライズン上でのノンターに基づくエントロピー密度 $\xi_a J^a$ と全微分項を除いて一致する。
• 作用 $\mathcal{A} \propto \int d^Dx \sqrt{-g} [2E_{ab} - T_{ab}] n^a n^b$ をすべての光的ベクトル $n_a$ について変分することで、運動方程式が得られ、熱力学的原理から方程式を変分的に導出可能である。
• 局所的Rindler構成は近似的であり、${\cal O}(X^2/L^2)$ のオーダーで破綻するため、ホライズンおよび局所的熱力学は、ある曲率および加速度の範囲内での有効な概念にすぎない。