[論文レビュー] Entropy dimension of measure preserving systems

Dou Dou, Wen Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、エントロピー生成列を用いて測度保存系におけるエントロピー次元を導入し、エントロピー零系における複雑性を分析する組合せ的枠組みを提供する。系の次元集合を定義し、K系の一般化としての均一次元を導入し、結合解析と次元集合を用いて、特定のエントロピー零系の非交差性を証明する。

ABSTRACT

The notion of metric entropy dimension is introduced to measure the complexity of entropy zero dynamical systems. For measure preserving systems, we define entropy dimension via the dimension of entropy generating sequences. This combinatorial approach provides us with a new insight to analyze the entropy zero systems. We also define the dimension set of a system to investigate the structure of the randomness of the factors of a system. The notion of a uniform dimension in the class of entropy zero systems is introduced as a generalization of a K-system in the case of positive entropy. We investigate the joinings among entropy zero systems and prove the disjointness property among entropy zero systems using the dimension sets. Given a topological system, we compare topological entropy dimension with metric entropy dimension.

研究の動機と目的

• エントロピー生成列を用いて、エントロピー零動的系における複雑性を測る組合せ的枠組みを構築すること。
• 因子の確率的構造を分析するため、系の次元集合を定義すること。
• エントロピー零領域におけるK系の一般化としての均一次元の概念を導入すること。
• 結合理論と次元集合を用いて、エントロピー零系間の非交差性を調査すること。
• 位相的系における位相的エントロピー次元と測度的エントロピー次元を比較すること。

提案手法

• エントロピー生成列のハウスドルフ次元としてエントロピー次元を定義し、その列に沿って系が正のエントロピー成長を示すものとする。
• 密度ゼロのℕの部分集合に対する次元の概念を用いて、系におけるエントロピーの成長率を特徴付ける。
• 系のすべての因子の可能なエントロピー次元の集合として、系の次元集合を定義する。
• 結合理論を応用して、エントロピー零系間の非交差性を分析し、特に次元集合の不変性を用いる。
• 測度的エントロピー次元と位相的エントロピー次元の関係を、位相的系において確立する。
• 対数的エントロピー不等式と測度論的摂動を活用し、エントロピー生成列を用いて、特定の系がエントロピー次元τを有することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エントロピー零測度保存系に対して、エントロピー次元をどのように組合せ的に定義できるか？
• RQ2 このような系における因子の確率的構造と構造的複雑性を特徴付けるために、次元集合が果たす役割は何か？
• RQ3 均一次元の概念は、エントロピー零設定におけるK系の意味ある一般化として機能できるか？
• RQ4 エントロピー零系が非交差する条件は何か、そしてその検出はどのように次元集合を用いて行えるか？
• RQ5 位相的系において、位相的エントロピー次元と測度的エントロピー次元はどのように関係するか？

主な発見

• 系のエントロピー次元は、そのエントロピー生成列のハウスドルフ次元として定義され、複雑性を分析するための新しい組合せ的ツールを提供する。
• 任意のτ ∈ (0,1]に対して、エントロピー次元τを有する測度保存系が存在し、そのような系はτ-一様分布（τ-u.d.）に構成可能である。
• 系の次元集合は、その因子の可能なエントロピー次元の範囲を捉えており、非交差性は次元集合の非交差性から導かれる。
• 本稿では、系がτ-u.d.であるならば、任意の有限分割についてエントロピー次元がτに等しくなり、かつある次元τを持つ列(t_i)に沿ってliminf_{n→∞} (1/n) H_μ(∨_{i=1}^n T^{-t_i}α) > 0を満たすことを証明している。
• 著者らはゼロエントロピーの1-一様分布系を構成し、均一次元が正のエントロピーに依存せずに定義可能であることを示している。
• 理論により、位相的系において位相的エントロピー次元と測度的エントロピー次元が比較可能であることが確立され、より広範な力学的設定への拡張が可能になった。