[論文レビュー] Entropy dissipation semi-discretization schemes for Fokker-Planck equations

Shui-Nee Chow, Luca Dieci+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限グラフ上の2 Wasserstein距離における勾配流構造を活用して、非線形 Fokker-Planck 方程式の新規な半離散化スキームを提案する。空間をグラフで離散化し、離散的2 Wasserstein距離を定義し、離散自由エネルギーの勾配流として定式化することで、正の解と全質量を保存しながら、離散ギブズ測度への指数的収束を保証する。

ABSTRACT

We propose a new semi-discretization scheme to approximate nonlinear Fokker-Planck equations, by exploiting the gradient flow structures with respect to the 2-Wasserstein metric. We discretize the underlying state by a finite graph and define a discrete 2-Wasserstein metric. Based on such metric, we introduce a dynamical system, which is a gradient flow of the discrete free energy. We prove that the new scheme maintains dissipativity of the free energy and converges to a discrete Gibbs measure at exponential (dissipation) rate. We exhibit these properties on several numerical examples.

研究の動機と目的

• 非線形 Fokker-Planck 方程式の半離散化スキームを構築し、2 Wasserstein距離に関する元の勾配流構造を保存すること。
• 有限グラフ上の離散確率空間への最適輸送理論の拡張を図り、離散的2 Wasserstein距離の一貫した定義を可能とすること。
• スキームが自由エネルギーの散逸を維持し、離散ギブズ測度へ指数的収束することを保証すること。
• グラフベースの離散化により、ゼロフラックス境界条件や周期的境界条件を含む多様な境界条件および一般の空間領域を扱えるようにすること。
• 正の解を保ち、エントロピーの凸性を継承する新規な対数ラプラシアン離散化による拡散項の定式化を導入すること。

提案手法

• 空間領域を有限グラフ $G = (V, E)$ を用いて離散化し、頂点が空間的点を表し、辺が局所的接続性を符号化する。
• 頂点 $V$ 上に台を持つ離散確率測度の空間に、離散的2 Wasserstein距離を定義し、勾配流の定式化を可能にする。
• 離散自由エネルギー $\mathcal{F}(\rho)$ に対する離散距離に関する勾配流として、半離散スキームを構築する。
• 主なスキームを提示：$\frac{d\rho_i}{dt} = \frac{1}{\Delta x^2} \left[ \sum_{j \in N(i)} \rho_j (F_j(\rho) - F_i(\rho))_+ - \sum_{j \in N(i)} \rho_i (F_i(\rho) - F_j(\rho))_+ \right]$、ここで $F_i(\rho) = \frac{\partial}{\partial \rho_i} \mathcal{F}(\rho)$。
• 正の解と質量保存を保証するため、拡散項の離散化に $\frac{1}{\Delta x^2} \sum_{j \in N(i)} (\log \rho_j - \log \rho_i) g_{ij}(\rho)$ を導入する。
• 自由エネルギーの局所的最小解における厳密な条件のもとで、離散ギブズ測度への理論的収束を示し、指数的収束率を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的設定において、2 Wasserstein距離に関する勾配流構造を保存する Fokker-Planck 方程式の半離散化スキームを構築可能か？
• RQ2 有限グラフ上に一貫した離散的2 Wasserstein距離を定義する方法は何か？ これにより勾配流ダイナミクスが可能になるか？
• RQ3 提案スキームは自由エネルギーの散逸を維持し、離散ギブズ測度への収束を保証するか？
• RQ4 スキームの収束速度は何か？ 適切な条件下で指数的収束であることが示せるか？
• RQ5 拡散項の対数ラプラシアン離散化は、数値的安定性を向上させるとともに、正の解や質量保存といった物理的性質をどのように保証するか？

主な発見

• 提案スキームは自由エネルギーの指数的減衰を保証し、$\mathcal{F}(\rho(t)) - \mathcal{F}(\rho^\infty) \leq e^{-Ct}(\mathcal{F}(\rho^0) - \mathcal{F}(\rho^\infty))$ を満たす。ここで $C > 0$ は、平衡状態における自由エネルギーのヘッセ行列から定まる定数である。
• スキームは離散ギブズ測度 $\rho_i^\infty = \frac{1}{K} \exp\left(-\frac{v_i + \sum_j w_{ij} \rho_j^\infty}{\beta}\right)$ に収束する。ここで $K = \sum_i \exp\left(-\frac{v_i + \sum_j w_{ij} \rho_j^\infty}{\beta}\right)$ である。
• 対数ラプラシアン離散化により、解が $\mathcal{P}_o(G)$ に留まり、正の解と全質量が自動的に保存される。
• 数値例により、ポテンシャル $V(x)$ が強く凸でない場合でも、ギブズ測度への指数的収束が確認され、エントロピーの凸性の役割が明確になった。
• 確率的 van der Pol および Duffing 振動子に対して、スキームはリミットサイクルに一致する二峰性の定常測度を的確に捉え、遅い・速い運動ダイナミクスを反映した。
• 漸近的収束速度は、ギブズ測度における自由エネルギーのヘッセ行列の最小固有値 $\lambda_{\mathcal{H}}(\rho^\infty)$ によって完全に決定される。