[論文レビュー] Entropy estimates for a class of schemes for the euler equations

Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、内部エネルギーに基づく離散化と速度に基づく上流化を用いて、Euler方程式を解く有限体積スキームのクラスに対して、離散的エントロピー推定値を確立する。$L^∞$ および BV 範囲における有界性の下で、余剰項が空間および時間ステップが 0 に近づくにつれて消えることにより、エントロピー不等式が満たされることを証明し、弱解としてのエントロピーを満たす解への収束を保証する。

ABSTRACT

In this paper, we derive entropy estimates for a class of schemes for the Euler equations which present the following features: they are based on the internal energy equation (eventually with a positive corrective term at the righ-hand-side so as to ensure consistency) and the possible upwinding is performed with respect to the material velocity only. The implicit-in-time first-order upwind scheme satisfies a local entropy inequality. A generalization of the convection term is then introduced, which allows to limit the scheme diffusion while ensuring a weaker property: the entropy inequality is satisfied up to a remainder term which is shown to tend to zero with the space and time steps, if the discrete solution is controlled in L $\infty$ and BV norms. The explicit upwind variant also satisfies such a weaker property, at the price of an estimate for the velocity which could be derived from the introduction of a new stabilization term in the momentum balance. Still for the explicit scheme, with the above-mentioned generalization of the convection operator, the same result only holds if the ratio of the time to the space step tends to zero.

研究の動機と目的

• 圧縮可能なEuler方程式を解く、完全に離散化された有限体積スキームのクラスに対して、離散的エントロピー不等式を導出すること。
• 補正項を含む内部エネルギー方程式に基づくスキームの整合性および安定性を分析すること。
• 離散的エントロピー不等式が、メッシュおよび時間ステップが 0 に近づくにつれて消える余剰項まで成立する条件を確立すること。
• 特に多次元設定において、implicit および explicit スキームへのエントロピー安定性解析を拡張すること。
• 運動量方程式における安定化項が、速度ノルムを制御し、エントロピーを満たす極限への収束を保証する役割を調査すること。

提案手法

• 整合性を保つために正の補正項を含む内部エネルギー方程式を用いてEuler系を定式化する。
• 対流項における上流化を物質速度に関してのみ適用し、すべての変数に対して完全な上流化を避ける。
• 数値的拡散を低減しつつ、エントロピー関連の性質を維持するための一般化された対流作用素を導入する。
• 離散的エントロピー不等式を、離散解の$L^∞$およびBVノルムに依存する余剰項とともに導出する。
• CFL 条件および有界性仮定により安定性を保証する時間陰性または時間陽性スキームを用いる。
• 速度ノルムの制御および余剰項の減衰を保証するため、運動量方程式に安定化項（例：$h_{\mathcal{M}}^\alpha \Delta_q u_i$）を組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に離散化された有限体積スキームが、空間および時間ステップが 0 に近づくにつれて余剰項を除いて離散的エントロピー不等式を満たす条件は何か？
• RQ2 エントロピー不等式における余剰項は、空間および時間ステップが 0 に近づくにつれてどのように振る舞うか？
• RQ3 $L^q(0,T;W^{1,q}_{\mathcal{M}})$ における速度ノルムが余剰項が消えるために果たす役割は何か？
• RQ4 運動量方程式における安定化項を設計することで、解の過剰な拡散を避けても余剰項が消えるようにできるか？
• RQ5 提案されたスキームを、CALIF3S などの産業的CFDソフトウェアで使用される他のフラックス分割スキームへどのように拡張できるか？

主な発見

• 陰的1次上流化スキームは、余剰項なしに局所的離散エントロピー不等式を満たす。
• 一般化された対流スキームでは、離散解が$L^\infty$およびBVノルムで有界であれば、余剰項が$h_{\mathcal{M}} \to 0$および$\delta t \to 0$の下で消えることにより、エントロピー不等式が成立する。
• 陽的スキームでは、比$\delta t / \underline{h}_{\mathcal{M}} \to 0$ または $L^q(0,T;W^{1,q}_{\mathcal{M}})$ における速度ノルムが制御されていれば、余剰項が消える。
• 運動量方程式に形式 $h_{\mathcal{M}}^\alpha \Delta_q u_i$ の安定化項を導入することで、速度ノルムを制御可能であり、余剰項の減衰を保証するには$\alpha < q-1$ が必要である。
• 陽的スキームの余剰項推定値は、$C C_{\mathcal{M}} M^{(2p-1)/p} |\varphi''|_\infty \|\rho\|_{\mathcal{T},t,BV}^{1/p} \|\mathbf{u}\|_{L^q(0,T;W^{1,q}_{\mathcal{M}})} \delta t^{1/p}$ で有界であり、$1/p + 1/q = 1$ を満たす。
• 余剰項が消える限り、$L^\infty$およびBV安定性の下で弱エントロピー解への収束が分析によって支持される。これは、適切な安定化またはメッシュ・時間比の制御によって保証される。