[論文レビュー] Entropy for expansive algebraic actions of residually finite groups

Lewis Bowen|ArXiv.org|Sep 25, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、余有限群の拡張的主代数的作用のソフィックエントロピーの公式を確立し、エントロピーが群環の元 f のフュルゲルト＝カダソン行列式の対数に等しいことを証明している。この結果は、アーベルでない余有限群への拡張を、ソフィックエントロピーと漸近的不変性の技法を用いて達成している。

ABSTRACT

We prove a formula for the sofic entropy of expansive principal algebraic actions of residually finite groups, extending recent work of Deninger and Schmidt.

研究の動機と目的

• 余有限群の拡張的主代数的作用のソフィックエントロピーを計算すること。
• ソフィックエントロピーを用いて、アーベル群から非アーベル余有限群へのエントロピー公式の拡張を達成すること。
• 代数的力学系の文脈において、ソフィックエントロピーとフュルゲルト＝カダソン行列式との関係を確立すること。
• トポロジカルエントロピーの手法に依存せずに、[DS07]の主要結果の別証明を提供すること。
• 群が非アーベルである場合に、その作用が強く混合的（strongly ergodic）であることを示すこと。

提案手法

• 単位元に収束する有限指数正規部分群の列 {Γi} を用いて、ソフィックエントロピーを定義する。
• 有限集合 A への可測写像 φ: X → A を用いて、l¹距離による押し出し測度のエントロピー率を定義する。
• 生成的観測と周期点における不変測度の弱*収束の概念を適用する。
• Γi の固定点集合におけるハール測度の一様分布を活用し、エントロピーの下界を推定する。
• 周期点における一様測度の押し出し測度が弱*収束してハール測度に近づくという事実を利用する。
• 周期点の増加率がソフィックエントロピーの下界を定めるという、鍵となる不等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余有限群の拡張的主代数的作用のソフィックエントロピーは何か？
• RQ2 非アーベルの場合に、ソフィックエントロピーはフュルゲルト＝カダソン行列式とどのように関係するか？
• RQ3 アーベル群におけるエントロピー公式を、非アーベル余有限群へ拡張できるか？
• RQ4 周期点は、代数的作用におけるソフィックエントロピー推定にどのような役割を果たすか？
• RQ5 群が非アーベルである場合、作用は強く混合的か？

主な発見

• f ∈ ℤΓ に対応する拡張的代数的作用 Xf のソフィックエントロピーは、log det(f) に等しく、ここで det(f) はフュルゲルト＝カダソン行列式である。
• この結果は、任意の余有限群 Γ および lim Γi = {e} を満たす有限指数正規部分群の列 {Γi} に対して成り立つ。
• エントロピー公式はアーベル群に対しても成立し、[DS07]の主要結果の別証明を提供する。
• Γ が非アーベルである場合、Γ ≀ (Xf, μf) の作用は、非自明な漸近的不変列が存在しないことから強く混合的であることが示された。
• Γi 階の周期点の数の増加率は、ソフィックエントロピーの下界を提供する。
• 周期点 Fix(Γi, Xf) における一様測度の弱*極限は、Xf 上のハール測度 μf に収束する。