[論文レビュー] Entropy Games and Matrix Multiplication Games

Eugène Asarin, Julien Cervelle+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ディスコルド、トゥーリウス、および非決定的行動を含む2.5人ゲームの新規クラス、エントロピー・ゲーム（EGs）と行列積ゲーム（MMGs）を導入する。EGsと非負行列の独立行不確実性（IRU）集合を持つMMGの部分クラスは、最適戦略が位置的または定数であるとともに決定的であることが証明され、それらを解くことはNP ∩ coNPに属する。

ABSTRACT

Two intimately related new classes of games are introduced and studied: entropy games (EGs) and matrix multiplication games (MMGs). An EG is played on a finite arena by two-and-a-half players: Despot, Tribune and the non-deterministic People. Despot wants to make the set of possible People's behaviors as small as possible, while Tribune wants to make it as large as possible.An MMG is played by two players that alternately write matrices from some predefined finite sets. One wants to maximize the growth rate of the product, and the other to minimize it. We show that in general MMGs are undecidable in quite a strong sense.On the positive side, EGs correspond to a subclass of MMGs, and we prove that such MMGs and EGs are determined, and that the optimal strategies are simple. The complexity of solving such games is in NP\&coNP.

研究の動機と目的

• エントロピー・ゲーム（EGs）を形式化し、研究すること。EGsは、ディスコルドが可能な行動のエントロピーを最小化し、トゥーリウスが最大化する2.5人ゲームの新規クラスである。
• 共同スペクトル半径問題の一般化として、行列積ゲーム（MMGs）を導入すること。ここでは、プレイヤーが交互に定められた集合からの行列を掛け合わせることで、積の成長率を制御する。
• MMGsの決定可能性と計算複雑性を調査すること、特にエントロピー・ゲームとの関係に注目する。
• 独立行不確実性（IRU）集合からの行列の積のスペクトル半径に関するミニマックス定理を確立し、MMGの重要な部分クラスを解く手がかりを提供すること。
• EGsとIRU-MMGsが決定的であり、最適戦略が位置的または定数であることを証明し、それらを解く複雑性をNP ∩ coNPの範囲に束縛すること。

提案手法

• 有限のアリーナ上で定義されたエントロピー・ゲーム（EGs）を導入する。2.5人プレイヤー（ディスコルド：最小化者、トゥーリウス：最大化者、非決定的であるが戦略によって制約を受ける人々）を含む。
• 無限ターンのゲームとしてMMGsをモデル化する。アダムとイヴが交互に有限な集合から行列を選択し、行列積の漸近的成長率を最小化または最大化する。
• EGsを、行列に独立行不確実性（IRU）があり非負であるような行列からなる部分クラス、すなわちIRU-MMGsに還元する。
• 非負行列のIRU集合からなる行列AとBについて、積ABのスペクトル半径に関する新しいミニマックス定理を証明する。これにより、各ターンで同じ固定行列を使用することが最適戦略であることが示される。
• ミニマックス定理を用いて、IRU-MMGsとEGsが決定的であり、最適戦略が定数または位置的であることを示す。
• 複雑性解析を実施し、EGまたはIRU-MMGの値が与えられた有理数以下かどうかを判定することがNP ∩ coNPに属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エントロピー・ゲーム（EGs）は決定的か？ そして両プレイヤーに最適戦略が存在するか？
• RQ2 行列積ゲーム（MMGs）は一般に解けるか？ それとも決定不能か？
• RQ3 EGまたはIRU-MMGの値が有理数の閾値以下かどうかを判定する複雑性は何か？
• RQ4 独立行不確実性（IRU）集合からの行列の積のスペクトル半径に関してミニマックス定理が成り立つか？
• RQ5 EGsは、解ける部分クラスに還元可能か？ また、この還元を可能にする構造的性質は何か？

主な発見

• エントロピー・ゲーム（EGs）は決定的であり、ディスコルドとトゥーリウスの両方が最適な位置的戦略を有する。
• 行列積ゲーム（MMGs）は一般に決定不能である。特に、値が0と1の間を区別することは不可能である。
• 独立行不確実性（IRU）を持つ非負行列からなるIRU-MMGの部分クラスでは、ゲームは決定的であり、最適戦略は定数である。各プレイヤーは各ターンで同じ行列を使用すべきである。
• 非負行列のIRU集合からなる行列AとBについて、積ABのスペクトル半径に関する新しいミニマックス定理が証明され、最適戦略が単一の固定行列を使用することであることが示された。
• EGまたはIRU-MMGの値を有理数定数と比較する複雑性はNP ∩ coNPに属する。
• EGsはIRU-MMGsに還元可能であり、この還元はゲーム値と最適戦略を保存する。これにより、2つのゲームクラスが結びつけられる。